Номер 56.28, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.28, страница 222.

56.28 a) $16x - 15\sqrt{x} - 1 = 0;$

Б) $2 - x + 3\sqrt{2 - x} = 4;$

В) $3x - 8\sqrt{x} + 5 = 0;$

Г) $5\sqrt{x + 3} + x + 3 = 6.$

а) $16x - 15\sqrt{x} - 1 = 0$

Данное уравнение является иррациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Для решения введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как квадратный корень не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$16t^2 - 15t - 1 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 225 + 64 = 289$

$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2 \cdot 16} = \frac{-2}{32} = -\frac{1}{16}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2 \cdot 16} = \frac{32}{32} = 1$

Теперь вернемся к условию $t \ge 0$. Корень $t_1 = -1/16$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $t_2 = 1$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t_2 = 1$:

$\sqrt{x} = 1$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = 1^2 = 1$

Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Проверка: $16(1) - 15\sqrt{1} - 1 = 16 - 15 - 1 = 0$. Верно.

Ответ: $1$.

б) $2 - x + 3\sqrt{2-x} = 4$

Определим ОДЗ: $2 - x \ge 0$, что означает $x \le 2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{2-x}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$. Тогда $t^2 = 2-x$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^2 + 3t = 4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + 3t - 4 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -4, сумма корней равна -3. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Либо через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

$\sqrt{D} = 5$

$t_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4$

$t_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$. Корень $t_1 = -4$ не подходит. Корень $t_2 = 1$ подходит.

Выполним обратную замену для $t=1$:

$\sqrt{2-x} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$2 - x = 1$

$-x = 1 - 2$

$-x = -1$

$x = 1$

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \le 2$).

Проверка: $2 - 1 + 3\sqrt{2-1} = 1 + 3\sqrt{1} = 1 + 3 = 4$. Верно.

Ответ: $1$.

в) $3x - 8\sqrt{x} + 5 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену: $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Уравнение принимает вид:

$3t^2 - 8t + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$

$\sqrt{D} = 2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{8 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{8 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Оба корня, $t_1 = 1$ и $t_2 = 5/3$, удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня.

1) Если $t = 1$, то $\sqrt{x} = 1$, откуда $x = 1$.

2) Если $t = 5/3$, то $\sqrt{x} = 5/3$, откуда $x = (5/3)^2 = 25/9$.

Оба значения $x$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Проверка для $x=1$: $3(1) - 8\sqrt{1} + 5 = 3 - 8 + 5 = 0$. Верно.

Проверка для $x=25/9$: $3(25/9) - 8\sqrt{25/9} + 5 = 25/3 - 8(5/3) + 5 = 25/3 - 40/3 + 15/3 = (25-40+15)/3 = 0$. Верно.

Ответ: $1; \frac{25}{9}$.

г) $5\sqrt{x+3} + x + 3 = 6$

ОДЗ: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

Введем замену: $t = \sqrt{x+3}$, где $t \ge 0$. Тогда $t^2 = x+3$.

Подставим замену в уравнение:

$5t + t^2 = 6$

Перепишем в стандартном виде:

$t^2 + 5t - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: произведение корней равно -6, сумма корней равна -5. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.

Либо через дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

$\sqrt{D} = 7$

$t_1 = \frac{-5 - 7}{2} = -6$

$t_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1$

Согласно условию $t \ge 0$, корень $t_1 = -6$ является посторонним. Подходит только $t_2 = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x+3} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$x + 3 = 1$

$x = 1 - 3$

$x = -2$

Корень $x = -2$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge -3$).

Проверка: $5\sqrt{-2+3} + (-2) + 3 = 5\sqrt{1} + 1 = 5+1 = 6$. Верно.

Ответ: $-2$.