Номер 56.31, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.31, страница 222.

56.31 a) $\sqrt{3x - 1} + \sqrt{6x + 2} = \sqrt{9x + 1};$

б) $\sqrt{6x - 14} + \sqrt{5 - x} = \sqrt{5x - 9}.$

а)

Решим иррациональное уравнение $\sqrt{3x-1} + \sqrt{6x+2} = \sqrt{9x+1}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$3x-1 \ge 0 \implies 3x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{3}$
$6x+2 \ge 0 \implies 6x \ge -2 \implies x \ge -\frac{1}{3}$
$9x+1 \ge 0 \implies 9x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{9}$

Пересечением этих трех условий является $x \ge \frac{1}{3}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны в ОДЗ:

$(\sqrt{3x-1} + \sqrt{6x+2})^2 = (\sqrt{9x+1})^2$

$(3x-1) + 2\sqrt{(3x-1)(6x+2)} + (6x+2) = 9x+1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$9x+1 + 2\sqrt{(3x-1)(6x+2)} = 9x+1$

Вычтем $9x+1$ из обеих частей уравнения:

$2\sqrt{(3x-1)(6x+2)} = 0$

$\sqrt{(3x-1)(6x+2)} = 0$

Возведем в квадрат еще раз:

$(3x-1)(6x+2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$3x-1=0 \implies 3x=1 \implies x = \frac{1}{3}$

или

$6x+2=0 \implies 6x=-2 \implies x = -\frac{1}{3}$

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{1}{3}$):

Корень $x = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию ОДЗ.

Корень $x = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию ОДЗ.

Следовательно, единственным решением является $x = \frac{1}{3}$.

Выполним проверку, подставив $x = \frac{1}{3}$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} + \sqrt{6 \cdot \frac{1}{3} + 2} = \sqrt{9 \cdot \frac{1}{3} + 1}$

$\sqrt{1 - 1} + \sqrt{2 + 2} = \sqrt{3 + 1}$

$\sqrt{0} + \sqrt{4} = \sqrt{4}$

$0 + 2 = 2$

$2 = 2$

Равенство верное.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

б)

Решим иррациональное уравнение $\sqrt{6x-14} + \sqrt{5-x} = \sqrt{5x-9}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$6x-14 \ge 0 \implies 6x \ge 14 \implies x \ge \frac{14}{6} \implies x \ge \frac{7}{3}$
$5-x \ge 0 \implies x \le 5$
$5x-9 \ge 0 \implies 5x \ge 9 \implies x \ge \frac{9}{5}$

Сравним $\frac{7}{3}$ и $\frac{9}{5}$: $\frac{7}{3} = \frac{35}{15}$, а $\frac{9}{5} = \frac{27}{15}$. Так как $\frac{35}{15} > \frac{27}{15}$, то $x \ge \frac{7}{3}$ является более строгим ограничением. Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $\frac{7}{3} \le x \le 5$.

Заметим, что подкоренное выражение в правой части является суммой подкоренных выражений в левой: $(6x-14) + (5-x) = 5x-9$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{6x-14} + \sqrt{5-x})^2 = (\sqrt{5x-9})^2$

$(6x-14) + 2\sqrt{(6x-14)(5-x)} + (5-x) = 5x-9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x-9 + 2\sqrt{(6x-14)(5-x)} = 5x-9$

Вычтем $5x-9$ из обеих частей:

$2\sqrt{(6x-14)(5-x)} = 0$

$\sqrt{(6x-14)(5-x)} = 0$

$(6x-14)(5-x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$6x-14=0 \implies 6x=14 \implies x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

или

$5-x=0 \implies x = 5$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($\frac{7}{3} \le x \le 5$):

Корень $x = \frac{7}{3}$ принадлежит ОДЗ.

Корень $x = 5$ принадлежит ОДЗ.

Оба корня являются решениями. Проведем проверку.

При $x = \frac{7}{3}$:

$\sqrt{6(\frac{7}{3})-14} + \sqrt{5-\frac{7}{3}} = \sqrt{5(\frac{7}{3})-9}$

$\sqrt{14-14} + \sqrt{\frac{15-7}{3}} = \sqrt{\frac{35-27}{3}}$

$\sqrt{0} + \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$ (верно)

При $x=5$:

$\sqrt{6(5)-14} + \sqrt{5-5} = \sqrt{5(5)-9}$

$\sqrt{30-14} + \sqrt{0} = \sqrt{25-9}$

$\sqrt{16} + 0 = \sqrt{16}$ (верно)

Ответ: $x_1 = \frac{7}{3}, x_2 = 5$.