Номер 56.29, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.29, страница 222.

56.29 a) $ \sqrt[5]{x} - \sqrt[10]{x} - 2 = 0; $

б) $ \sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} - 3 = 0; $

В) $ \sqrt[3]{x} - 6\sqrt[6]{x} + 8 = 0; $

Г) $ 3\sqrt[4]{x} - \sqrt[8]{x} - 2 = 0. $

а)

Исходное уравнение: $\sqrt[5]{x} - \sqrt[10]{x} - 2 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется наличием корня четной степени ($\sqrt[10]{x}$), поэтому $x \ge 0$.

Заметим, что $\sqrt[5]{x} = (\sqrt[10]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[10]{x}$. Поскольку корень четной степени не может быть отрицательным, $t \ge 0$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$t^2 - t - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$

$t_1 = \frac{1+3}{2} = 2$

$t_2 = \frac{1-3}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 2$:

$\sqrt[10]{x} = 2$

Возведем обе части уравнения в 10-ю степень, чтобы найти $x$:

$x = 2^{10} = 1024$

Полученное значение $x=1024$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $1024$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} - 3 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$ (из-за наличия корней $\sqrt[4]{x}$ и $\sqrt[8]{x}$).

Заметим, что $\sqrt[4]{x} = (\sqrt[8]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[8]{x}$, при этом $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Найдем корни. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -2$

$t_1 \cdot t_2 = -3$

Подбором находим корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ подходит.

Корень $t_2 = -3$ не подходит.

Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:

$\sqrt[8]{x} = 1$

Возведем обе части в 8-ю степень:

$x = 1^8 = 1$

Значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1$.

в)

Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x} - 6\sqrt[6]{x} + 8 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$ (из-за наличия корня $\sqrt[6]{x}$).

Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$, при этом $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Найдем корни. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 6$

$t_1 \cdot t_2 = 8$

Подбором находим корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня.

1) $\sqrt[6]{x} = 2$

$x_1 = 2^6 = 64$

2) $\sqrt[6]{x} = 4$

$x_2 = 4^6 = (2^2)^6 = 2^{12} = 4096$

Оба значения $x_1=64$ и $x_2=4096$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $64; 4096$.

г)

Исходное уравнение: $3\sqrt[4]{x} - \sqrt[8]{x} - 2 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$ (из-за наличия корней $\sqrt[4]{x}$ и $\sqrt[8]{x}$).

Заметим, что $\sqrt[4]{x} = (\sqrt[8]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[8]{x}$, при этом $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$3t^2 - t - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 5}{6}$

$t_1 = \frac{1+5}{6} = 1$

$t_2 = \frac{1-5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ подходит.

Корень $t_2 = -2/3$ не подходит.

Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:

$\sqrt[8]{x} = 1$

Возведем обе части в 8-ю степень:

$x = 1^8 = 1$

Значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1$.