Номер 56.32, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.32, страница 222.

56.32 a) $x^2 - 4x - 6 = \sqrt{2x^2 - 8x + 12};$

б) $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7.$

а) $x^2 - 4x - 6 = \sqrt{2x^2 - 8x + 12}$
Заметим, что подкоренное выражение можно преобразовать: $2x^2 - 8x + 12 = 2(x^2 - 4x + 6)$.
Видно, что и в левой, и в правой части уравнения присутствует выражение $x^2 - 4x$. Сделаем замену, чтобы упростить уравнение. Пусть $t = x^2 - 4x - 6$.
Тогда $x^2 - 4x = t + 6$.
Подставим это в исходное уравнение:
$t = \sqrt{2(t+6) + 12}$
$t = \sqrt{2t + 12 + 12}$
$t = \sqrt{2t + 24}$
Для решения этого иррационального уравнения необходимо, чтобы обе его части были неотрицательны. Так как правая часть (арифметический квадратный корень) по определению неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $t \ge 0$.
Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2t + 24 \ge 0$, что дает $t \ge -12$.
Объединяя условия, получаем $t \ge 0$.
Возведем обе части уравнения $t = \sqrt{2t + 24}$ в квадрат:
$t^2 = 2t + 24$
$t^2 - 2t - 24 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант):
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$
$t_1 = \frac{2 + 10}{2} = 6$
$t_2 = \frac{2 - 10}{2} = -4$
Проверяем корни по условию $t \ge 0$.
$t_1 = 6$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -4$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.
Итак, единственное решение для $t$ - это $t=6$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
$x^2 - 4x - 6 = 6$
$x^2 - 4x - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 4$
$x_1 \cdot x_2 = -12$
Отсюда корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.
Область допустимых значений исходного уравнения определяется условием $2x^2 - 8x + 12 \ge 0$. Дискриминант этого трехчлена $D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 64 - 96 = -32 < 0$. Так как старший коэффициент $2>0$, то трехчлен $2x^2 - 8x + 12$ положителен при любых $x$. Таким образом, найденные корни входят в ОДЗ.
Ответ: $x = -2, x = 6$.

б) $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7$
Перенесем члены из правой части в левую, чтобы сгруппировать похожие выражения:
$\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 - 3x - 7 = 0$
Заметим, что выражение под корнем $x^2 - 3x + 5$ и выражение $x^2 - 3x$ очень похожи. Сделаем замену.
Пусть $y = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$. По определению арифметического корня, $y \ge 0$.
Возведем обе части замены в квадрат: $y^2 = x^2 - 3x + 5$.
Отсюда выразим $x^2 - 3x = y^2 - 5$.
Теперь подставим $y$ и $y^2 - 5$ в уравнение $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + (x^2 - 3x) - 7 = 0$:
$y + (y^2 - 5) - 7 = 0$
$y^2 + y - 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = -1$
$y_1 \cdot y_2 = -12$
Корни $y_1 = 3$ и $y_2 = -4$.
Вспоминаем условие $y \ge 0$.
$y_1 = 3$ удовлетворяет условию.
$y_2 = -4$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.
Таким образом, $y=3$.
Вернемся к переменной $x$, используя нашу замену:
$\sqrt{x^2 - 3x + 5} = 3$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 - 3x + 5 = 3^2$
$x^2 - 3x + 5 = 9$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 3$
$x_1 \cdot x_2 = -4$
Корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Проверим ОДЗ. Подкоренное выражение $x^2 - 3x + 5$ имеет дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11 < 0$. Так как старший коэффициент $1>0$, то $x^2 - 3x + 5 > 0$ для любых $x$. Следовательно, оба корня подходят.
Ответ: $x = -1, x = 4$.