Номер 56.39, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.39, страница 223.

56.39 a) $2^{5x-1} \left(\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \log_{0,5}(x + 4) = 0;$

б) $(\sin 2x + \cos 2x)(x - 8\sqrt{2x - 15}) = 0.$

а) Решим уравнение $2^{5x-1} \left( \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \log_{0,5}(x+4) = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x+4 > 0$, откуда $x > -4$. ОДЗ: $x \in (-4, +\infty)$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены. Рассмотрим каждый множитель по отдельности.

1. $2^{5x-1} = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как показательная функция $a^y$ всегда строго положительна при $a > 0$.

2. $\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$. Отсюда следует, что $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решениями этого тригонометрического уравнения являются серии корней, которые можно записать в общей форме: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. $\log_{0,5}(x+4) = 0$. По определению логарифма, это равенство эквивалентно $x+4 = (0,5)^0$, то есть $x+4 = 1$. Отсюда получаем $x = -3$.

Теперь необходимо отобрать корни, которые удовлетворяют ОДЗ, то есть $x > -4$.

Корень $x = -3$ удовлетворяет условию $-3 > -4$, следовательно, он является решением исходного уравнения.

Для серии корней $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$ проверим, при каких целых значениях $k$ выполняется неравенство $x > -4$.
При $k \ge 0$ все корни будут удовлетворять условию. Например, при $k=0, x = \frac{\pi}{3} > -4$; при $k=1, x = \frac{2\pi}{3} > -4$.
При $k = -1$, $x = (-1)^{-1}\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3} \approx -4.19$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, так как $-4.19 < -4$.
При $k < -1$ значения $x$ будут еще меньше, поэтому они также не входят в ОДЗ.
Таким образом, для этой серии подходят только целые неотрицательные значения $k$, то есть $k \ge 0$.

Ответ: $x = -3; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.

б) Решим уравнение $(\sin 2x + \cos 2x)(x - 8\sqrt{2x-15}) = 0$.

ОДЗ уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $2x-15 \ge 0$, откуда $2x \ge 15$, то есть $x \ge 7.5$. ОДЗ: $x \in [7.5, +\infty)$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом определен. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\sin 2x + \cos 2x = 0$

2) $x - 8\sqrt{2x-15} = 0$

Решим первое уравнение: $\sin 2x + \cos 2x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение. Так как значения $x$, при которых $\cos 2x = 0$, не являются решениями (в этом случае $\sin 2x = \pm 1 \neq 0$), можно разделить обе части на $\cos 2x$:
$\tan 2x + 1 = 0 \implies \tan 2x = -1$
$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, удовлетворяющие ОДЗ ($x \ge 7.5$):
$-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \ge 7.5 \implies \frac{\pi(4k-1)}{8} \ge \frac{15}{2} \implies \pi(4k-1) \ge 60 \implies 4k-1 \ge \frac{60}{\pi}$.
Используя приближение $\pi \approx 3.14$, получаем $\frac{60}{\pi} \approx 19.1$.
$4k-1 \ge 19.1 \implies 4k \ge 20.1 \implies k \ge 5.025$.
Поскольку $k$ — целое число, наименьшее подходящее значение $k=6$.

Решим второе уравнение: $x - 8\sqrt{2x-15} = 0 \implies x = 8\sqrt{2x-15}$.
В соответствии с ОДЗ $x \ge 7.5$, поэтому обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:
$x^2 = (8\sqrt{2x-15})^2 \implies x^2 = 64(2x-15) \implies x^2 = 128x - 960 \implies x^2 - 128x + 960 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-128)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 960 = 16384 - 3840 = 12544 = 112^2$.
$x_1 = \frac{128 - 112}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
$x_2 = \frac{128 + 112}{2} = \frac{240}{2} = 120$.
Оба корня $x=8$ и $x=120$ удовлетворяют ОДЗ ($8 \ge 7.5$ и $120 \ge 7.5$). Проверка подстановкой в исходное иррациональное уравнение подтверждает, что оба корня подходят.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $8; \quad 120; \quad -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}, k \ge 6$.