Номер 57.3, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.3, страница 224.

57.3 Данное неравенство замените равносильным рациональным неравенством:

a) $\lg(x^2 + 9) > \lg(2x^2 + 4)$;

б) $1,4^{7x-9} \le 1,4^{x^2-6}$;

в) $\sqrt[5]{4x - 9} \ge \sqrt[5]{7x + 9}$;

г) $\log_{0,2}(16x^2 + 8) < \log_{0,2}(x^2 + 1)$.

а)

Дано логарифмическое неравенство $\lg(x^2 + 9) > \lg(2x^2 + 4)$.

Основание десятичного логарифма $a = 10$, что больше 1 ($a > 1$). Логарифмическая функция с основанием больше 1 является возрастающей. Следовательно, при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства сохраняется. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 9 > 2x^2 + 4 \\ 2x^2 + 4 > 0 \end{cases} $

Рассмотрим второе неравенство системы: $2x^2 + 4 > 0$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), поэтому $2x^2 \ge 0$. Тогда $2x^2 + 4 \ge 4$. Это означает, что неравенство $2x^2 + 4 > 0$ выполняется при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, система равносильна первому неравенству.

Ответ: $x^2 + 9 > 2x^2 + 4$.

б)

Дано показательное неравенство $1,4^{7x - 9} \le 1,4^{x^2 - 6}$.

Основание степени $a = 1,4$, что больше 1 ($a > 1$). Показательная функция с основанием больше 1 является возрастающей. Поэтому при переходе от неравенства степеней к неравенству их показателей знак неравенства сохраняется. Область определения показателей ($7x-9$ и $x^2-6$) — все действительные числа.

Следовательно, данное неравенство равносильно рациональному неравенству:

$7x - 9 \le x^2 - 6$

Ответ: $7x - 9 \le x^2 - 6$.

в)

Дано иррациональное неравенство $\sqrt[5]{4x - 9} \ge \sqrt[5]{7x + 9}$.

Показатель корня $n = 5$ является нечетным числом. Функция $y = \sqrt[5]{t}$ является возрастающей на всей числовой прямой и определена для любых действительных значений аргумента $t$. Поэтому для решения неравенства можно просто сравнить подкоренные выражения, сохранив знак неравенства.

Исходное неравенство равносильно следующему рациональному неравенству:

$4x - 9 \ge 7x + 9$

Ответ: $4x - 9 \ge 7x + 9$.

г)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{0,2}(16x^2 + 8) < \log_{0,2}(x^2 + 1)$.

Основание логарифма $a = 0,2$, что находится в интервале $0 < a < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительными.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 16x^2 + 8 > x^2 + 1 \\ x^2 + 1 > 0 \end{cases} $

Рассмотрим второе неравенство $x^2 + 1 > 0$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Неравенство $x^2 + 1 > 0$ выполняется при любых действительных $x$. (Условие $16x^2 + 8 > 0$ также выполняется всегда).

Таким образом, система равносильна первому неравенству.

Ответ: $16x^2 + 8 > x^2 + 1$.