Номер 57.1, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Задачник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 2

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.1, страница 223.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№57.1 (с. 223)
Условие. №57.1 (с. 223)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 223, номер 57.1, Условие

57.1 Придумайте три неравенства, равносильные неравенству:

а) $x^2 - 9 \le 0;$

б) $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}.$

Решение 1. №57.1 (с. 223)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 223, номер 57.1, Решение 1
Решение 2. №57.1 (с. 223)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 223, номер 57.1, Решение 2
Решение 5. №57.1 (с. 223)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 223, номер 57.1, Решение 5
Решение 6. №57.1 (с. 223)

а)

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы придумать три неравенства, равносильные исходному $x^2 - 9 \le 0$, мы можем выполнять равносильные преобразования или находить другие неравенства с таким же множеством решений.

Сначала решим исходное неравенство. Разложим левую часть на множители:

$(x - 3)(x + 3) \le 0$

Корнями соответствующего уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями. Таким образом, множество решений исходного неравенства: $x \in [-3, 3]$.

Теперь придумаем три равносильных неравенства:

  1. Перенесем 9 в правую часть неравенства $x^2 - 9 \le 0$. Это равносильное преобразование, которое не изменяет множество решений.

    $x^2 \le 9$

  2. Умножим обе части исходного неравенства $x^2 - 9 \le 0$ на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Это также равносильное преобразование.

    $-(x^2 - 9) \ge -1 \cdot 0$

    $9 - x^2 \ge 0$

  3. Неравенство $x^2 \le 9$ равносильно неравенству $|x| \le 3$. Множеством решений этого неравенства является промежуток от -3 до 3 включительно, то есть $x \in [-3, 3]$, что совпадает с множеством решений исходного неравенства.

    $|x| \le 3$

Ответ: $x^2 \le 9$; $9 - x^2 \ge 0$; $|x| \le 3$.

б)

Найдем множество решений для исходного неравенства $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}$. Для этого перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$

$\frac{3 - x}{3x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$. Нули знаменателя: $3x = 0 \Rightarrow x = 0$. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{3-x}{3x}$ в каждом интервале.

  • При $x < 0$ (например, $x = -1$): $\frac{3 - (-1)}{3(-1)} = \frac{4}{-3} < 0$. Интервал подходит.
  • При $0 < x < 3$ (например, $x = 1$): $\frac{3 - 1}{3(1)} = \frac{2}{3} > 0$. Интервал не подходит.
  • При $x > 3$ (например, $x = 4$): $\frac{3 - 4}{3(4)} = \frac{-1}{12} < 0$. Интервал подходит.

Таким образом, множество решений исходного неравенства: $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Теперь придумаем три равносильных неравенства:

  1. Первое равносильное неравенство мы уже получили в процессе решения: перенос члена $\frac{1}{3}$ в левую часть.

    $\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$

  2. Второе равносильное неравенство — это результат приведения к общему знаменателю в предыдущем неравенстве.

    $\frac{3-x}{3x} < 0$

  3. Умножим обе части неравенства $\frac{3-x}{3x} < 0$ на -3. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный. Это равносильное преобразование.

    $-3 \cdot \frac{3-x}{3x} > -3 \cdot 0$

    $\frac{-(3-x)}{x} > 0$

    $\frac{x-3}{x} > 0$

Ответ: $\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$; $\frac{3-x}{3x} < 0$; $\frac{x-3}{x} > 0$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 57.1 расположенного на странице 223 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №57.1 (с. 223), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться