Номер 57.1, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. §57. Решение неравенств с одной переменной - номер 57.1, страница 223.

Условие.

57.1 Придумайте три неравенства, равносильные неравенству:

а) $x^2 - 9 \le 0;$

б) $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы придумать три неравенства, равносильные исходному $x^2 - 9 \le 0$, мы можем выполнять равносильные преобразования или находить другие неравенства с таким же множеством решений.

Сначала решим исходное неравенство. Разложим левую часть на множители:

$(x - 3)(x + 3) \le 0$

Корнями соответствующего уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями. Таким образом, множество решений исходного неравенства: $x \in [-3, 3]$.

Теперь придумаем три равносильных неравенства:

1. Перенесем 9 в правую часть неравенства $x^2 - 9 \le 0$. Это равносильное преобразование, которое не изменяет множество решений.

   $x^2 \le 9$

2. Умножим обе части исходного неравенства $x^2 - 9 \le 0$ на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Это также равносильное преобразование.

   $-(x^2 - 9) \ge -1 \cdot 0$

   $9 - x^2 \ge 0$

3. Неравенство $x^2 \le 9$ равносильно неравенству $|x| \le 3$. Множеством решений этого неравенства является промежуток от -3 до 3 включительно, то есть $x \in [-3, 3]$, что совпадает с множеством решений исходного неравенства.

   $|x| \le 3$

Ответ: $x^2 \le 9$; $9 - x^2 \ge 0$; $|x| \le 3$.

б)

Найдем множество решений для исходного неравенства $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}$. Для этого перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$

$\frac{3 - x}{3x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$. Нули знаменателя: $3x = 0 \Rightarrow x = 0$. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{3-x}{3x}$ в каждом интервале.

• При $x < 0$ (например, $x = -1$): $\frac{3 - (-1)}{3(-1)} = \frac{4}{-3} < 0$. Интервал подходит.
• При $0 < x < 3$ (например, $x = 1$): $\frac{3 - 1}{3(1)} = \frac{2}{3} > 0$. Интервал не подходит.
• При $x > 3$ (например, $x = 4$): $\frac{3 - 4}{3(4)} = \frac{-1}{12} < 0$. Интервал подходит.

Таким образом, множество решений исходного неравенства: $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Теперь придумаем три равносильных неравенства:

1. Первое равносильное неравенство мы уже получили в процессе решения: перенос члена $\frac{1}{3}$ в левую часть.

   $\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$

2. Второе равносильное неравенство — это результат приведения к общему знаменателю в предыдущем неравенстве.

   $\frac{3-x}{3x} < 0$

3. Умножим обе части неравенства $\frac{3-x}{3x} < 0$ на -3. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный. Это равносильное преобразование.

   $-3 \cdot \frac{3-x}{3x} > -3 \cdot 0$

   $\frac{-(3-x)}{x} > 0$

   $\frac{x-3}{x} > 0$

Ответ: $\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$; $\frac{3-x}{3x} < 0$; $\frac{x-3}{x} > 0$.