Номер 57.6, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.6, страница 224.

57.6 a) $\begin{cases} x^3 < x, \\ 3x^2 - x > 5 - 15x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x+5}{x-7} < 1, \\ \frac{3x+4}{4x-2} > -1. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^3 < x, \\ 3x^2 - x > 5 - 15x; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство:

$x^3 < x$

$x^3 - x < 0$

$x(x^2 - 1) < 0$

$x(x - 1)(x + 1) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни многочлена $x(x - 1)(x + 1)$ равны $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале.

Выражение $x(x - 1)(x + 1)$ отрицательно, когда $x \in (-\infty, -1)$ и когда $x \in (0, 1)$.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

2. Решим второе неравенство:

$3x^2 - x > 5 - 15x$

$3x^2 - x + 15x - 5 > 0$

$3x^2 + 14x - 5 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + 14x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm 16}{2 \cdot 3}$

$x_1 = \frac{-14 - 16}{6} = \frac{-30}{6} = -5$

$x_2 = \frac{-14 + 16}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$), ветви параболы $y = 3x^2 + 14x - 5$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $3x^2 + 14x - 5 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне корней.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -5) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -5) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$.

Пересекая эти два множества, получаем:

$((-\infty, -1) \cup (0, 1)) \cap ((-\infty, -5) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)) = (-\infty, -5) \cup (\frac{1}{3}, 1)$.

Ответ: $(-\infty, -5) \cup (\frac{1}{3}, 1)$.

б)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x+5}{x-7} < 1, \\ \frac{3x+4}{4x-2} > -1. \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{x+5}{x-7} < 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x+5}{x-7} - 1 < 0$

$\frac{x+5 - (x-7)}{x-7} < 0$

$\frac{x+5-x+7}{x-7} < 0$

$\frac{12}{x-7} < 0$

Числитель $12$ является положительным числом. Дробь будет отрицательной, если ее знаменатель отрицателен:

$x-7 < 0$

$x < 7$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 7)$.

2. Решим второе неравенство:

$\frac{3x+4}{4x-2} > -1$

Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x+4}{4x-2} + 1 > 0$

$\frac{3x+4 + (4x-2)}{4x-2} > 0$

$\frac{7x+2}{4x-2} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $7x+2 = 0 \implies x = -\frac{2}{7}$

Нуль знаменателя: $4x-2 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$

Отметим точки $x = -\frac{2}{7}$ и $x = \frac{1}{2}$ на числовой прямой и определим знаки дроби на интервалах. Выражение положительно, когда $x \in (-\infty, -\frac{2}{7})$ и когда $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 7)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Пересекая эти два множества, получаем:

$((-\infty, 7)) \cap ((-\infty, -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)) = (-\infty, -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}, 7)$.

Ответ: $(-\infty, -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}, 7)$.