Номер 57.11, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.11, страница 225.

57.11 a) $\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2 - 5x) \ge \log_{\frac{1}{\pi}}(2x - 3);$

б) $\lg(5x^2 - 15x) \le \lg(2x - 6).$

а)

Дано логарифмическое неравенство:

$\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2 - 5x) \ge \log_{\frac{1}{\pi}}(2x - 3)$

Основание логарифма $a = \frac{1}{\pi}$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $0 < \frac{1}{\pi} < 1$. Логарифмическая функция с основанием, меньшим 1, является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Кроме того, аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе неравенств:

$$ \begin{cases} 2x^2 - 5x \le 2x - 3 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases}$$

Обратите внимание, что условие $2x^2 - 5x > 0$ также должно выполняться. Однако, если мы решим систему выше, то из $2x^2 - 5x \le 2x - 3$ и $2x-3>0$ может не следовать $2x^2 - 5x > 0$. Поэтому правильнее рассмотреть полную систему с областью допустимых значений (ОДЗ):

$$ \begin{cases} 2x^2 - 5x \le 2x - 3 & (1) \\ 2x^2 - 5x > 0 & (2) \\ 2x - 3 > 0 & (3) \end{cases}$$

1. Решим неравенство (3) из ОДЗ:

$2x - 3 > 0 \implies 2x > 3 \implies x > 1.5$

2. Решим неравенство (2) из ОДЗ:

$2x^2 - 5x > 0 \implies x(2x - 5) > 0$

Корни соответствующего уравнения $x(2x - 5)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 2.5$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (2.5, +\infty)$.

Общая ОДЗ является пересечением решений (2) и (3): $x \in (1.5, +\infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (2.5, +\infty))$, что дает $x \in (2.5, +\infty)$.

3. Решим неравенство (1):

$2x^2 - 5x \le 2x - 3$

$2x^2 - 7x + 3 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - 7x + 3 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

$x_2 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Парабола $y=2x^2 - 7x + 3$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $2x^2 - 7x + 3 \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [0.5, 3]$.

4. Найдем пересечение решения неравенства (1) с общей ОДЗ:

$x \in [0.5, 3] \cap (2.5, +\infty)$

Итоговое решение: $x \in (2.5, 3]$.

Ответ: $(2.5, 3]$.

б)

Дано логарифмическое неравенство:

$\lg(5x^2 - 15x) \le \lg(2x - 6)$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм, основание которого $a=10$. Так как $a=10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

Неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} 5x^2 - 15x \le 2x - 6 \\ 5x^2 - 15x > 0 \end{cases}$$

Здесь условие $2x-6>0$ автоматически выполняется, так как $2x-6 \ge 5x^2 - 15x$ и $5x^2 - 15x > 0$. Однако, для ясности, найдем ОДЗ отдельно.

ОДЗ определяется системой:

$$ \begin{cases} 5x^2 - 15x > 0 \\ 2x - 6 > 0 \end{cases}$$

1. Решим первое неравенство ОДЗ:

$5x^2 - 15x > 0 \implies 5x(x - 3) > 0$

Корни $x_1=0$, $x_2=3$. Парабола с ветвями вверх, значит решение $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство ОДЗ:

$2x - 6 > 0 \implies 2x > 6 \implies x > 3$.

Пересечение решений дает общую ОДЗ: $x \in (3, +\infty)$.

3. Теперь решим основное неравенство:

$5x^2 - 15x \le 2x - 6$

$5x^2 - 17x + 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 17x + 6 = 0$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 289 - 120 = 169 = 13^2$

$x_{1,2} = \frac{17 \pm 13}{2 \cdot 5} = \frac{17 \pm 13}{10}$

$x_1 = \frac{17 - 13}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$

$x_2 = \frac{17 + 13}{10} = \frac{30}{10} = 3$

Парабола $y=5x^2 - 17x + 6$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $5x^2 - 17x + 6 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [0.4, 3]$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$x \in [0.4, 3] \cap (3, +\infty)$

Эти два множества не имеют общих точек, так как первое заканчивается в точке 3 (включительно), а второе начинается после точки 3 (не включая ее). Следовательно, их пересечение пусто.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).