Номер 57.14, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. §57. Решение неравенств с одной переменной - номер 57.14, страница 225.

Условие.

57.14 a) $(2^{x+1} + 1)^6 \ge (2^x + 17)^6;$

б) $(2 \cdot 0.1^x + 3)^{10} \ge (0.1^x + 103)^{10}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а) $(2^{x+1} + 1)^6 \ge (2^x + 17)^6$

Данное неравенство имеет вид $A^6 \ge B^6$. Рассмотрим основания степеней:

1. $A = 2^{x+1} + 1 = 2 \cdot 2^x + 1$. Так как показательная функция $2^x > 0$ для любого $x$, то $2 \cdot 2^x + 1 > 1$. Следовательно, основание $A$ всегда положительно.

2. $B = 2^x + 17$. Аналогично, $2^x > 0$, поэтому $2^x + 17 > 17$. Следовательно, основание $B$ также всегда положительно.

Поскольку оба основания положительны, можно извлечь корень 6-й степени из обеих частей неравенства, сохранив знак неравенства:

$2^{x+1} + 1 \ge 2^x + 17$

Преобразуем выражение $2^{x+1}$:

$2 \cdot 2^x + 1 \ge 2^x + 17$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2 \cdot 2^x - 2^x \ge 17 - 1$

$2^x \ge 16$

Представим 16 как степень двойки:

$2^x \ge 2^4$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$x \ge 4$

Ответ: $x \in [4, +\infty)$.

б) $(2 \cdot 0,1^x + 3)^{10} \ge (0,1^x + 103)^{10}$

Данное неравенство имеет вид $A^{10} \ge B^{10}$. Рассмотрим основания степеней:

1. $A = 2 \cdot 0,1^x + 3$. Так как $0,1^x > 0$ для любого $x$, то $2 \cdot 0,1^x + 3 > 3$. Следовательно, основание $A$ всегда положительно.

2. $B = 0,1^x + 103$. Аналогично, $0,1^x > 0$, поэтому $0,1^x + 103 > 103$. Следовательно, основание $B$ также всегда положительно.

Поскольку оба основания положительны, можно извлечь корень 10-й степени из обеих частей неравенства, сохранив знак неравенства:

$2 \cdot 0,1^x + 3 \ge 0,1^x + 103$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2 \cdot 0,1^x - 0,1^x \ge 103 - 3$

$0,1^x \ge 100$

Представим обе части неравенства как степени числа 10. Учитывая, что $0,1 = 10^{-1}$ и $100 = 10^2$:

$(10^{-1})^x \ge 10^2$

$10^{-x} \ge 10^2$

Так как основание степени $10 > 1$, показательная функция $y=10^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$-x \ge 2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -2$

Ответ: $x \in (-\infty, -2]$.