Номер 57.14, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.14, страница 225.
№57.14 (с. 225)
Условие. №57.14 (с. 225)
скриншот условия

57.14 a) $(2^{x+1} + 1)^6 \ge (2^x + 17)^6;$
б) $(2 \cdot 0.1^x + 3)^{10} \ge (0.1^x + 103)^{10}.$
Решение 1. №57.14 (с. 225)

Решение 2. №57.14 (с. 225)

Решение 5. №57.14 (с. 225)

Решение 6. №57.14 (с. 225)
а) $(2^{x+1} + 1)^6 \ge (2^x + 17)^6$
Данное неравенство имеет вид $A^6 \ge B^6$. Рассмотрим основания степеней:
1. $A = 2^{x+1} + 1 = 2 \cdot 2^x + 1$. Так как показательная функция $2^x > 0$ для любого $x$, то $2 \cdot 2^x + 1 > 1$. Следовательно, основание $A$ всегда положительно.
2. $B = 2^x + 17$. Аналогично, $2^x > 0$, поэтому $2^x + 17 > 17$. Следовательно, основание $B$ также всегда положительно.
Поскольку оба основания положительны, можно извлечь корень 6-й степени из обеих частей неравенства, сохранив знак неравенства:
$2^{x+1} + 1 \ge 2^x + 17$
Преобразуем выражение $2^{x+1}$:
$2 \cdot 2^x + 1 \ge 2^x + 17$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$2 \cdot 2^x - 2^x \ge 17 - 1$
$2^x \ge 16$
Представим 16 как степень двойки:
$2^x \ge 2^4$
Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:
$x \ge 4$
Ответ: $x \in [4, +\infty)$.
б) $(2 \cdot 0,1^x + 3)^{10} \ge (0,1^x + 103)^{10}$
Данное неравенство имеет вид $A^{10} \ge B^{10}$. Рассмотрим основания степеней:
1. $A = 2 \cdot 0,1^x + 3$. Так как $0,1^x > 0$ для любого $x$, то $2 \cdot 0,1^x + 3 > 3$. Следовательно, основание $A$ всегда положительно.
2. $B = 0,1^x + 103$. Аналогично, $0,1^x > 0$, поэтому $0,1^x + 103 > 103$. Следовательно, основание $B$ также всегда положительно.
Поскольку оба основания положительны, можно извлечь корень 10-й степени из обеих частей неравенства, сохранив знак неравенства:
$2 \cdot 0,1^x + 3 \ge 0,1^x + 103$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$2 \cdot 0,1^x - 0,1^x \ge 103 - 3$
$0,1^x \ge 100$
Представим обе части неравенства как степени числа 10. Учитывая, что $0,1 = 10^{-1}$ и $100 = 10^2$:
$(10^{-1})^x \ge 10^2$
$10^{-x} \ge 10^2$
Так как основание степени $10 > 1$, показательная функция $y=10^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:
$-x \ge 2$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le -2$
Ответ: $x \in (-\infty, -2]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 57.14 расположенного на странице 225 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №57.14 (с. 225), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.