Номер 57.13, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.13, страница 225.

57.13 a) $(x^2 - 6x)^5 \ge (2x - 7)^5;$

б) $(x^2 - 2x)^9 \le (2x - x^2 - 2)^9.$

а) $(x^2 - 6x)^5 \ge (2x - 7)^5$

Поскольку функция $y = t^5$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, данное неравенство равносильно неравенству для оснований степеней:

$x^2 - 6x \ge 2x - 7$

Перенесем все члены в левую часть неравенства и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 6x - 2x + 7 \ge 0$

$x^2 - 8x + 7 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 8x + 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, выражение $x^2 - 8x + 7$ принимает неотрицательные значения на промежутках, где $x$ находится левее меньшего корня или правее большего корня (включая сами корни).

Таким образом, решение неравенства: $x \le 1$ или $x \ge 7$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

---

б) $(x^2 - 2x)^9 \le (2x - x^2 - 2)^9$

Так как функция $y = t^9$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, данное неравенство равносильно следующему неравенству:

$x^2 - 2x \le 2x - x^2 - 2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x - 2x + x^2 + 2 \le 0$

$2x^2 - 4x + 2 \le 0$

Разделим обе части неравенства на 2 (положительное число, знак неравенства не меняется):

$x^2 - 2x + 1 \le 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x - 1)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Следовательно, неравенство $(x - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае, когда $(x - 1)^2 = 0$.

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Ответ: $1$.