Номер 57.19, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.19, страница 225.

57.19 a) $3^x + 3^{-x+1} \le 4;$

б) $25^{-x} - 50 > 5^{-x+1}.$

а) $3^x + 3^{-x+1} \le 4$

Преобразуем неравенство, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$3^x + 3^{-x} \cdot 3^1 \le 4$

$3^x + \frac{3}{3^x} \le 4$

Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, имеем условие $t > 0$.

С новой переменной неравенство принимает вид:

$t + \frac{3}{t} \le 4$

Так как $t>0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства:

$t^2 + 3 \le 4t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$t^2 - 4t + 3 \le 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Графиком функции $f(t) = t^2 - 4t + 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неположительны ($ \le 0 $) на отрезке между корнями, включая сами корни. Следовательно, решением неравенства для $t$ является $1 \le t \le 3$.

Данное решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену, подставив $3^x$ вместо $t$:

$1 \le 3^x \le 3$

Представим числа 1 и 3 в виде степеней с основанием 3:

$3^0 \le 3^x \le 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение показателя степени. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей:

$0 \le x \le 1$

Ответ: $x \in [0, 1]$

б) $25^{-x} - 50 > 5^{-x+1}$

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем степени к одному основанию 5.

$25^{-x} - 5^{-x+1} - 50 > 0$

$(5^2)^{-x} - 5^{-x} \cdot 5^1 - 50 > 0$

$(5^{-x})^2 - 5 \cdot 5^{-x} - 50 > 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = 5^{-x}$. Так как $y$ является значением показательной функции, $y > 0$.

Неравенство преобразуется к виду:

$y^2 - 5y - 50 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $y^2 - 5y - 50 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 = 15^2$

Корни уравнения равны:

$y_1 = \frac{5 - 15}{2} = -5$

$y_2 = \frac{5 + 15}{2} = 10$

Графиком функции $f(y) = y^2 - 5y - 50$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны ($ > 0 $) вне отрезка между корнями. Таким образом, решением неравенства являются $y < -5$ или $y > 10$.

Учитывая ограничение $y > 0$, отбрасываем решение $y < -5$. Остается только $y > 10$.

Выполним обратную замену:

$5^{-x} > 10$

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 5. Так как основание логарифма $5 > 1$, функция логарифма возрастающая, и знак неравенства сохраняется.

$\log_5(5^{-x}) > \log_5(10)$

Используем свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$:

$-x \cdot \log_5(5) > \log_5(10)$

$-x > \log_5(10)$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < -\log_5(10)$

Ответ: $x \in (-\infty, -\log_5(10))$