Номер 57.23, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.23, страница 225.

Решите неравенство, применяя функционально-графические методы:

57.23 а) $3^x > 12 - 1.5x;$

б) $2^x > \sqrt{x};$

в) $3^x \le 12 - 1.5x;$

г) $2^x \le \sqrt{x}.

а)

Для решения неравенства $3^x > 12 - 1,5x$ используем функционально-графический метод. Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = 12 - 1,5x$.

Функция $y_1(x) = 3^x$ — это показательная функция, её график — возрастающая кривая. Она определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и проходит через точку $(0, 1)$.

Функция $y_2(x) = 12 - 1,5x$ — это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой найдем две точки: если $x=0$, то $y=12$; если $y=0$, то $12 - 1,5x = 0$, откуда $x=8$. Так как угловой коэффициент $k=-1,5$ отрицателен, функция является убывающей.

Неравенство $3^x > 12 - 1,5x$ будет выполняться для тех значений $x$, при которых график функции $y_1(x)$ расположен выше графика функции $y_2(x)$.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $3^x = 12 - 1,5x$. Методом подбора легко определить, что $x=2$ является корнем:

$y_1(2) = 3^2 = 9$

$y_2(2) = 12 - 1,5 \cdot 2 = 12 - 3 = 9$

Так как функция $y_1(x)$ строго возрастает, а функция $y_2(x)$ строго убывает, их графики могут пересечься только в одной точке. Таким образом, $x=2$ — единственная точка пересечения.

Поскольку при $x > 2$ возрастающая функция $y_1(x)$ принимает значения больше $9$, а убывающая функция $y_2(x)$ — значения меньше $9$, то для всех $x > 2$ выполняется неравенство $y_1(x) > y_2(x)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б)

Рассмотрим неравенство $2^x > \sqrt{x}$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Рассмотрим функции $y_1(x) = 2^x$ и $y_2(x) = \sqrt{x}$ на ОДЗ $x \in [0, +\infty)$.

$y_1(x) = 2^x$ — возрастающая показательная функция. Ее график является выпуклым вниз (вогнутым). Проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

$y_2(x) = \sqrt{x}$ — возрастающая функция квадратного корня. Ее график является выпуклым вверх (выпуклым). Проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Неравенство $2^x > \sqrt{x}$ выполняется, когда график $y_1(x)$ лежит выше графика $y_2(x)$.

Сравним значения функций в некоторых точках на ОДЗ:

При $x=0$: $y_1(0) = 2^0 = 1$, $y_2(0) = \sqrt{0} = 0$. Имеем $1 > 0$.

При $x=1$: $y_1(1) = 2^1 = 2$, $y_2(1) = \sqrt{1} = 1$. Имеем $2 > 1$.

Поскольку график $y_1(x)$ является выпуклым вниз, а график $y_2(x)$ — выпуклым вверх, они могут пересечься не более двух раз. Однако, анализ показывает, что график показательной функции $y=2^x$ всегда находится выше графика функции $y=\sqrt{x}$ при $x \ge 0$. Это можно строго доказать, проанализировав функцию разности $f(x) = 2^x - \sqrt{x}$ и показав, что её минимальное значение на $[0, +\infty)$ положительно.

Следовательно, неравенство $2^x > \sqrt{x}$ выполняется для всех $x$ из области определения.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

в)

Рассмотрим неравенство $3^x \le 12 - 1,5x$.

Воспользуемся анализом и графиками функций $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = 12 - 1,5x$ из пункта а).

Данное неравенство выполняется, когда график функции $y_1(x)$ находится на одном уровне или ниже графика функции $y_2(x)$.

Как было установлено, графики пересекаются в единственной точке $x=2$. Поскольку функция $y_1(x)$ возрастает, а $y_2(x)$ убывает, то при $x \le 2$ значения $y_1(x)$ будут меньше или равны значениям $y_2(x)$.

Следовательно, решение неравенства — это все значения $x$, не превосходящие 2.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

г)

Рассмотрим неравенство $2^x \le \sqrt{x}$.

Воспользуемся анализом и графиками функций $y_1(x) = 2^x$ и $y_2(x) = \sqrt{x}$ из пункта б). Область определения неравенства $x \ge 0$.

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1(x)$ лежит на одном уровне или ниже графика функции $y_2(x)$.

Как было показано в пункте б), для всех $x$ из области определения $x \ge 0$ выполняется строгое неравенство $2^x > \sqrt{x}$. Это означает, что график $y=2^x$ всегда расположен строго выше графика $y=\sqrt{x}$.

Следовательно, не существует значений $x$, удовлетворяющих неравенству $2^x \le \sqrt{x}$.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).