Номер 57.22, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.22, страница 225.

57.22 a) $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 \le 0;$

б) $\cos^2 x - 5\cos x + 4 \le 0.$

а) $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 \le 0$

Для решения данного тригонометрического неравенства введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$.

После замены исходное неравенство принимает вид квадратного неравенства:
$2t^2 - 3t + 1 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2t^2 - 3t + 1 = 0$, чтобы определить интервалы знакопостоянства.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Так как коэффициент при $t^2$ положителен ($2 > 0$), ветви параболы $y = 2t^2 - 3t + 1$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $2t^2 - 3t + 1 \le 0$ выполняется для значений $t$, находящихся между корнями, включая сами корни: $\frac{1}{2} \le t \le 1$.

Теперь учтем ограничение на переменную $t$: $-1 \le t \le 1$.
Найдем пересечение двух условий: $[\frac{1}{2}, 1] \cap [-1, 1]$. Результатом является промежуток $[\frac{1}{2}, 1]$.

Выполним обратную замену:
$\frac{1}{2} \le \sin x \le 1$.

Решим это двойное неравенство. На единичной окружности значениям $\sin x$, удовлетворяющим этому условию, соответствуют точки дуги от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, решением на одном периоде является промежуток $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.
Учитывая периодичность функции синус (период $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде:
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

---

б) $\cos^2 x - 5\cos x + 4 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Область значений функции косинус $[-1, 1]$, поэтому $-1 \le t \le 1$.

Неравенство принимает вид:
$t^2 - 5t + 4 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни уравнения:
$t_1 = 1$
$t_2 = 4$

Ветви параболы $y = t^2 - 5t + 4$ направлены вверх, значит, неравенство $t^2 - 5t + 4 \le 0$ выполняется для $t$ в промежутке между корнями: $1 \le t \le 4$.

Сопоставим полученное решение с ограничением на $t$: $-1 \le t \le 1$.
Нам нужно найти пересечение множеств $[1, 4]$ и $[-1, 1]$. Единственным значением, удовлетворяющим обоим условиям, является $t=1$.

Производим обратную замену:
$\cos x = 1$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решением которого является серия:
$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.