Номер 57.25, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.25, страница 226.

57.25 а) $x^2 + 1 \ge \cos x;$

В) $x^2 + 1 \le \cos x;$

б) $\sin x \le -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2 - 1;$

Г) $\sin x \ge -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2 - 1.$

а) $x^2 + 1 \ge \cos x$

Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = \cos x$. Для решения неравенства оценим области значений этих функций.

Функция $f(x) = x^2 + 1$ представляет собой параболу с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, 1)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, область значений функции $f(x)$ есть $E(f) = [1; +\infty)$.

Функция $g(x) = \cos x$ является тригонометрической функцией, область значений которой $E(g) = [-1; 1]$. Таким образом, $\cos x \le 1$ для любого действительного $x$.

Сравнивая области значений, мы видим, что наименьшее значение левой части неравенства равно 1, а наибольшее значение правой части также равно 1. Для любого действительного $x$ выполняется $x^2 + 1 \ge 1$ и $\cos x \le 1$. Следовательно, неравенство $x^2 + 1 \ge \cos x$ выполняется для всех $x$. Равенство достигается только в случае, когда обе части равны 1, то есть при $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $\sin x \le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$

Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = \sin x$ и $g(x) = -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$. Для решения оценим области значений этих функций.

Область значений функции $f(x) = \sin x$ есть $E(f) = [-1; 1]$. Наименьшее значение функции $\sin x$ равно -1.

Функция $g(x) = -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$ является параболой с ветвями вниз. Ее вершина находится в точке, где выражение в скобках равно нулю, то есть при $x = -\frac{\pi}{2}$. Значение функции в этой точке: $g(-\frac{\pi}{2}) = -(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2})^2 - 1 = -1$. Это максимальное значение функции $g(x)$. Таким образом, область значений функции $g(x)$ есть $E(g) = (-\infty; -1]$.

Неравенство $\sin x \le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$ может выполняться только в том случае, если обе части равны -1, так как $\sin x \ge -1$ и $-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1 \le -1$. Это приводит к системе уравнений: $\begin{cases} \sin x = -1 \\ -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1 = -1 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 = 0$, откуда $x+\frac{\pi}{2} = 0$, то есть $x = -\frac{\pi}{2}$.

Подставим это значение в первое уравнение для проверки: $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Равенство верное. Следовательно, система имеет единственное решение.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$.

в) $x^2 + 1 \le \cos x$

Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = \cos x$. Как было показано в пункте а), область значений функции $f(x)$ есть $E(f) = [1; +\infty)$, а область значений функции $g(x)$ есть $E(g) = [-1; 1]$.

Неравенство $f(x) \le g(x)$ может иметь решение только в том случае, если существует значение $x$, при котором $f(x) = g(x)$. Учитывая, что $f(x) \ge 1$ и $g(x) \le 1$, равенство возможно только если обе части равны 1.

Рассмотрим систему уравнений: $\begin{cases} x^2 + 1 = 1 \\ \cos x = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение второму уравнению: $\cos(0) = 1$. Равенство верное. Таким образом, неравенство выполняется только в одной точке.

Ответ: $x = 0$.

г) $\sin x \ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$

Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = \sin x$ и $g(x) = -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$. Как было показано в пункте б), область значений функции $f(x)$ есть $E(f) = [-1; 1]$, а область значений функции $g(x)$ есть $E(g) = (-\infty; -1]$.

Таким образом, для любого действительного $x$ имеем $\sin x \ge -1$. Также для любого действительного $x$ имеем $-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1 \le -1$.

Сравнивая значения функций, получаем, что для любого $x$ выполняется: $\sin x \ge -1 \ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$. Следовательно, неравенство $\sin x \ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$ выполняется для всех действительных значений $x$. Равенство достигается при $x = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.