Номер 57.27, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.27, страница 226.

57.27 a) $4^{\sqrt{x}} - 9 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 < 0;$

б) $9^{\sqrt{x}} - 10 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 9 < 0.$

а) $4^{\sqrt{x}} - 9 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 < 0$

Первым делом определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку переменная $x$ находится под знаком квадратного корня, должно выполняться условие $x \ge 0$.
Заметим, что $4^{\sqrt{x}} = (2^2)^{\sqrt{x}} = (2^{\sqrt{x}})^2$. Это позволяет нам свести данное показательное неравенство к квадратному с помощью замены переменной.
Пусть $t = 2^{\sqrt{x}}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, а показательная функция с основанием больше 1 является возрастающей, то $t = 2^{\sqrt{x}} \ge 2^0 = 1$.
После замены неравенство принимает вид:
$t^2 - 9t + 8 < 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 9t + 8 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.
Графиком функции $y(t) = t^2 - 9t + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше нуля между корнями.
Решением неравенства является интервал $1 < t < 8$.
Теперь необходимо учесть условие $t \ge 1$, полученное при замене. Система неравенств для $t$:
$\begin{cases} 1 < t < 8 \\ t \ge 1 \end{cases}$
Решением этой системы является $1 < t < 8$.
Выполним обратную замену, подставив $2^{\sqrt{x}}$ вместо $t$:
$1 < 2^{\sqrt{x}} < 8$
Представим числа 1 и 8 в виде степеней с основанием 2:
$2^0 < 2^{\sqrt{x}} < 2^3$
Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:
$0 < \sqrt{x} < 3$
Поскольку все части этого двойного неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$0^2 < (\sqrt{x})^2 < 3^2$
$0 < x < 9$
Полученное решение $x \in (0, 9)$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $x \in (0, 9)$.

б) $9^{\sqrt{x}} - 10 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 9 < 0$

ОДЗ данного неравенства: $x \ge 0$, так как $x$ находится под знаком квадратного корня.
Преобразуем выражение: $9^{\sqrt{x}} = (3^2)^{\sqrt{x}} = (3^{\sqrt{x}})^2$.
Введем новую переменную. Пусть $y = 3^{\sqrt{x}}$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, а основание $3 > 1$, то $y = 3^{\sqrt{x}} \ge 3^0 = 1$.
Подставим новую переменную в исходное неравенство:
$y^2 - 10y + 9 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $y^2 - 10y + 9 = 0$.
По теореме Виета, корни равны $y_1 = 1$ и $y_2 = 9$.
Парабола $f(y) = y^2 - 10y + 9$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $f(y) < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Решение для $y$: $1 < y < 9$.
Совместим это решение с условием $y \ge 1$:
$\begin{cases} 1 < y < 9 \\ y \ge 1 \end{cases}$
Общим решением является $1 < y < 9$.
Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:
$1 < 3^{\sqrt{x}} < 9$
Запишем 1 и 9 как степени с основанием 3:
$3^0 < 3^{\sqrt{x}} < 3^2$
Поскольку основание $3 > 1$, неравенство для показателей будет иметь тот же знак:
$0 < \sqrt{x} < 2$
Возведем все части двойного неравенства в квадрат:
$0^2 < (\sqrt{x})^2 < 2^2$
$0 < x < 4$
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $x \in (0, 4)$.