Номер 58.1, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.1, страница 226.

58.1 Решите уравнение:

a) $ (x - 1)^2 + (y + 2)^4 = 0; $

б) $ \sqrt{2x - 3} + \sqrt{3y + 4} = 0; $

В) $ \sin^2 x + \cos^2 y = 0; $

Г) $ \sin x + \cos y = \sqrt{5}. $

a)

Дано уравнение $(x-1)^2 + (y+2)^4 = 0$.

Выражения $(x-1)^2$ и $(y+2)^4$ являются степенями с четным показателем, поэтому их значения всегда неотрицательны, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ и $(y+2)^4 \ge 0$ для любых действительных чисел $x$ и $y$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} (x-1)^2 = 0 \\ (y+2)^4 = 0 \end{cases} $

Решая эту систему, получаем:

$ \begin{cases} x - 1 = 0 \\ y + 2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ y = -2 \end{cases} $

Ответ: $(1; -2)$.

б)

Дано уравнение $\sqrt{2x-3} + \sqrt{3y+4} = 0$.

Арифметический квадратный корень по определению является неотрицательной величиной. Следовательно, оба слагаемых в левой части уравнения неотрицательны: $\sqrt{2x-3} \ge 0$ и $\sqrt{3y+4} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{2x-3} = 0 \\ \sqrt{3y+4} = 0 \end{cases} $

Для решения возведем обе части каждого уравнения в квадрат:

$ \begin{cases} 2x - 3 = 0 \\ 3y + 4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x = 3 \\ 3y = -4 \end{cases} \implies \begin{cases} x = \frac{3}{2} \\ y = -\frac{4}{3} \end{cases} $

При этих значениях подкоренные выражения равны нулю, что входит в область допустимых значений.

Ответ: $(\frac{3}{2}; -\frac{4}{3})$.

в)

Дано уравнение $\sin^2 x + \cos^2 y = 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Поэтому $\sin^2 x \ge 0$ и $\cos^2 y \ge 0$ для любых $x$ и $y$.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только тогда, когда оба выражения равны нулю. Следовательно, уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \sin^2 x = 0 \\ \cos^2 y = 0 \end{cases} $

Это, в свою очередь, равносильно системе:

$ \begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos y = 0 \end{cases} $

Решением уравнения $\sin x = 0$ является множество $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Решением уравнения $\cos y = 0$ является множество $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = \pi k, y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $k \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\sin x + \cos y = \sqrt{5}$.

Область значений тригонометрических функций синуса и косинуса — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любых действительных $x$ и $y$ выполняются неравенства:

$-1 \le \sin x \le 1$

$-1 \le \cos y \le 1$

Чтобы оценить максимальное значение левой части уравнения, сложим максимальные значения синуса и косинуса:

$\sin x + \cos y \le 1 + 1 = 2$.

Таким образом, левая часть уравнения не может быть больше 2.

Теперь оценим правую часть уравнения. Мы знаем, что $4 < 5$, следовательно, $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, что означает $2 < \sqrt{5}$.

Получаем, что левая часть уравнения $\sin x + \cos y$ всегда меньше или равна 2, а правая часть $\sqrt{5}$ строго больше 2. Равенство между ними невозможно.

Ответ: решений нет.