Номер 58.6, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.6, страница 227.

58.6 a) $|x| + |y| = x + y;$

б) $|x| + |y| = y - x;$

В) $|x| + |y| = x - y;$

Г) $|x| + |y| = -x - y.$

Для решения данных уравнений воспользуемся свойством модуля: для любого действительного числа $a$ выполняются неравенства $|a| \ge a$ и $|a| \ge -a$. Из этих неравенств следуют два важных факта:

1. $|a| - a \ge 0$, причем равенство $|a| - a = 0$ (или $|a|=a$) достигается тогда и только тогда, когда $a \ge 0$.
2. $|a| + a \ge 0$, причем равенство $|a| + a = 0$ (или $|a|=-a$) достигается тогда и только тогда, когда $a \le 0$.

Также будем использовать тот факт, что сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.

а) $|x| + |y| = x + y$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую:

$|x| + |y| - x - y = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(|x| - x) + (|y| - y) = 0$

Как было показано выше, выражения $(|x| - x)$ и $(|y| - y)$ являются неотрицательными. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} |x| - x = 0 \\ |y| - y = 0 \end{cases}$

Решая эту систему, получаем:

$\begin{cases} |x| = x \\ |y| = y \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$

Решением уравнения является множество всех точек $(x, y)$, у которых обе координаты неотрицательны. Геометрически это соответствует первому координатному углу, включая его границы (положительные полуоси и начало координат).

Ответ: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

б) $|x| + |y| = y - x$

Перенесем слагаемые из правой части в левую и сгруппируем:

$(|x| + x) + (|y| - y) = 0$

Выражения $(|x| + x)$ и $(|y| - y)$ неотрицательны. Их сумма равна нулю, только если каждое из них равно нулю:

$\begin{cases} |x| + x = 0 \\ |y| - y = 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} |x| = -x \\ |y| = y \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$

Решением является множество всех точек $(x, y)$, у которых абсцисса неположительна, а ордината неотрицательна. Геометрически это второй координатный угол, включая его границы.

Ответ: $x \le 0$ и $y \ge 0$.

в) $|x| + |y| = x - y$

Перенесем слагаемые из правой части в левую и сгруппируем:

$(|x| - x) + (|y| + y) = 0$

Выражения $(|x| - x)$ и $(|y| + y)$ неотрицательны. Их сумма равна нулю, только если каждое из них равно нулю:

$\begin{cases} |x| - x = 0 \\ |y| + y = 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} |x| = x \\ |y| = -y \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ y \le 0 \end{cases}$

Решением является множество всех точек $(x, y)$, у которых абсцисса неотрицательна, а ордината неположительна. Геометрически это четвертый координатный угол, включая его границы.

Ответ: $x \ge 0$ и $y \le 0$.

г) $|x| + |y| = -x - y$

Перенесем слагаемые из правой части в левую и сгруппируем:

$(|x| + x) + (|y| + y) = 0$

Выражения $(|x| + x)$ и $(|y| + y)$ неотрицательны. Их сумма равна нулю, только если каждое из них равно нулю:

$\begin{cases} |x| + x = 0 \\ |y| + y = 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} |x| = -x \\ |y| = -y \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 0 \\ y \le 0 \end{cases}$

Решением является множество всех точек $(x, y)$, у которых обе координаты неположительны. Геометрически это третий координатный угол, включая его границы.

Ответ: $x \le 0$ и $y \le 0$.