Номер 58.13, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.13, страница 227.

58.13 a) $x^2 - 5xy + 6y^2 = 2;$

б) $x^2 + 2xy - 8y^2 = 7.$

а) $x^2 - 5xy + 6y^2 = 2$

Данное уравнение является диофантовым уравнением второй степени. Левую часть уравнения можно разложить на множители, рассматривая ее как квадратный трехчлен относительно переменной $x$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5yx + 6y^2 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:

$D = (-5y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6y^2) = 25y^2 - 24y^2 = y^2$.

$x_{1,2} = \frac{5y \pm \sqrt{y^2}}{2} = \frac{5y \pm y}{2}$.

$x_1 = \frac{5y+y}{2} = \frac{6y}{2} = 3y$;

$x_2 = \frac{5y-y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$.

Тогда левую часть уравнения можно представить в виде: $(x - 2y)(x - 3y)$.

Исходное уравнение принимает вид:

$(x - 2y)(x - 3y) = 2$.

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x - 2y)$ и $(x - 3y)$ также являются целыми числами. Число 2 можно представить как произведение двух целых чисел следующими способами: $1 \cdot 2$, $2 \cdot 1$, $(-1) \cdot (-2)$, $(-2) \cdot (-1)$. Рассмотрим каждую из этих четырех возможностей в виде системы уравнений.

1) $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ x - 3y = 2 \end{cases}$

Вычитая из первого уравнения второе, получаем: $(x - 2y) - (x - 3y) = 1 - 2$, откуда $y = -1$. Подставляя $y = -1$ в первое уравнение, находим $x - 2(-1) = 1 \Rightarrow x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$. Решение: $(-1, -1)$.

2) $\begin{cases} x - 2y = 2 \\ x - 3y = 1 \end{cases}$

Вычитая из первого уравнения второе, получаем: $(x - 2y) - (x - 3y) = 2 - 1$, откуда $y = 1$. Подставляя $y = 1$ в первое уравнение, находим $x - 2(1) = 2 \Rightarrow x = 4$. Решение: $(4, 1)$.

3) $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ x - 3y = -2 \end{cases}$

Вычитая из первого уравнения второе, получаем: $(x - 2y) - (x - 3y) = -1 - (-2)$, откуда $y = 1$. Подставляя $y = 1$ в первое уравнение, находим $x - 2(1) = -1 \Rightarrow x = 1$. Решение: $(1, 1)$.

4) $\begin{cases} x - 2y = -2 \\ x - 3y = -1 \end{cases}$

Вычитая из первого уравнения второе, получаем: $(x - 2y) - (x - 3y) = -2 - (-1)$, откуда $y = -1$. Подставляя $y = -1$ в первое уравнение, находим $x - 2(-1) = -2 \Rightarrow x + 2 = -2 \Rightarrow x = -4$. Решение: $(-4, -1)$.

Таким образом, мы получили четыре пары целых решений.

Ответ: $(-4, -1)$, $(-1, -1)$, $(1, 1)$, $(4, 1)$.

б) $x^2 + 2xy - 8y^2 = 7$

Аналогично предыдущему пункту, разложим левую часть уравнения на множители, рассматривая ее как квадратный трехчлен относительно $x$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2yx - 8y^2 = 0$:

$D = (2y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8y^2) = 4y^2 + 32y^2 = 36y^2 = (6y)^2$.

$x_{1,2} = \frac{-2y \pm \sqrt{36y^2}}{2} = \frac{-2y \pm 6y}{2}$.

$x_1 = \frac{-2y+6y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$;

$x_2 = \frac{-2y-6y}{2} = \frac{-8y}{2} = -4y$.

Тогда левую часть уравнения можно представить в виде: $(x - 2y)(x - (-4y)) = (x-2y)(x+4y)$.

Исходное уравнение принимает вид:

$(x - 2y)(x + 4y) = 7$.

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $(x - 2y)$ и $(x + 4y)$ также являются целыми числами. Число 7 является простым, поэтому его можно представить в виде произведения двух целых чисел следующими способами: $1 \cdot 7$, $7 \cdot 1$, $(-1) \cdot (-7)$, $(-7) \cdot (-1)$. Рассмотрим каждую из этих четырех возможностей.

1) $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ x + 4y = 7 \end{cases}$

Вычитая из второго уравнения первое, получаем: $(x + 4y) - (x - 2y) = 7 - 1$, откуда $6y = 6 \Rightarrow y = 1$. Подставляя $y = 1$ в первое уравнение, находим $x - 2(1) = 1 \Rightarrow x = 3$. Решение: $(3, 1)$.

2) $\begin{cases} x - 2y = 7 \\ x + 4y = 1 \end{cases}$

Вычитая из второго уравнения первое, получаем: $(x + 4y) - (x - 2y) = 1 - 7$, откуда $6y = -6 \Rightarrow y = -1$. Подставляя $y = -1$ в первое уравнение, находим $x - 2(-1) = 7 \Rightarrow x + 2 = 7 \Rightarrow x = 5$. Решение: $(5, -1)$.

3) $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ x + 4y = -7 \end{cases}$

Вычитая из второго уравнения первое, получаем: $(x + 4y) - (x - 2y) = -7 - (-1)$, откуда $6y = -6 \Rightarrow y = -1$. Подставляя $y = -1$ в первое уравнение, находим $x - 2(-1) = -1 \Rightarrow x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3$. Решение: $(-3, -1)$.

4) $\begin{cases} x - 2y = -7 \\ x + 4y = -1 \end{cases}$

Вычитая из второго уравнения первое, получаем: $(x + 4y) - (x - 2y) = -1 - (-7)$, откуда $6y = 6 \Rightarrow y = 1$. Подставляя $y = 1$ в первое уравнение, находим $x - 2(1) = -7 \Rightarrow x = -5$. Решение: $(-5, 1)$.

Таким образом, мы получили четыре пары целых решений.

Ответ: $(-5, 1)$, $(-3, -1)$, $(3, 1)$, $(5, -1)$.