Номер 58.19, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.19, страница 228.
№58.19 (с. 228)
Условие. №58.19 (с. 228)
скриншот условия

58.19 а) $\sqrt{3x - y - 1} < \sqrt{2x + y - 1}$
б) $\sqrt{1 - y} \le \sqrt{1 - 2x^2}$
В) $\sqrt{x + y - 1} > \sqrt{2x - y}$
Г) $\sqrt{y^2 - 1} \ge \sqrt{2x - 1}$
Решение 1. №58.19 (с. 228)

Решение 2. №58.19 (с. 228)




Решение 5. №58.19 (с. 228)



Решение 6. №58.19 (с. 228)
а) Исходное неравенство: $\sqrt{3x - y - 1} < \sqrt{2x + y - 1}$.
Данное иррациональное неравенство равносильно системе, включающей в себя область допустимых значений (ОДЗ) и результат возведения в квадрат обеих частей неравенства. Так как функция $f(t)=\sqrt{t}$ монотонно возрастающая, неравенство $\sqrt{A} < \sqrt{B}$ равносильно системе $\begin{cases} A \ge 0 \\ A < B \end{cases}$. Условие $B > A \ge 0$ гарантирует, что и подкоренное выражение $B$ также неотрицательно, поэтому условие $B \ge 0$ можно было бы вывести, но для ясности лучше начать с полной ОДЗ.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
$\begin{cases} 3x - y - 1 \ge 0 \\ 2x + y - 1 \ge 0 \end{cases}$
2. Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{3x - y - 1})^2 < (\sqrt{2x + y - 1})^2$
$3x - y - 1 < 2x + y - 1$
$3x - 2x < y + y$
$x < 2y$, что эквивалентно $y > \frac{x}{2}$.
3. Объединим все условия в одну систему:
$\begin{cases} 3x - y - 1 \ge 0 \\ 2x + y - 1 \ge 0 \\ y > \frac{x}{2} \end{cases}$
Выразим $y$ в каждом неравенстве, чтобы было удобнее интерпретировать решение графически:
$\begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge -2x + 1 \\ y > \frac{x}{2} \end{cases}$
Решением является область на координатной плоскости, ограниченная сверху прямой $y = 3x - 1$, снизу прямой $y = -2x + 1$ и находящаяся строго выше прямой $y = \frac{x}{2}$.
Ответ: $\begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge -2x + 1 \\ y > \frac{x}{2} \end{cases}$
б) Исходное неравенство: $\sqrt{1 - y} \le \sqrt{1 - 2x^2}$.
Неравенство вида $\sqrt{A} \le \sqrt{B}$ равносильно системе $\begin{cases} A \ge 0 \\ A \le B \end{cases}$. Условие $B \ge A \ge 0$ гарантирует, что и $B$ неотрицательно.
1. Составим эквивалентную систему:
$\begin{cases} 1 - y \ge 0 \\ 1 - y \le 1 - 2x^2 \end{cases}$
2. Упростим эту систему:
$\begin{cases} y \le 1 \\ -y \le -2x^2 \end{cases}$
Умножим второе неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\begin{cases} y \le 1 \\ y \ge 2x^2 \end{cases}$
3. Объединим в двойное неравенство:
$2x^2 \le y \le 1$.
Это и есть решение. Заметим, что из этого решения автоматически следует выполнение ОДЗ для второго корня: $2x^2 \le y \le 1 \implies 2x^2 \le 1 \implies 1-2x^2 \ge 0$.
Ответ: $2x^2 \le y \le 1$
в) Исходное неравенство: $\sqrt{x + y - 1} > \sqrt{2x - y}$.
Неравенство вида $\sqrt{A} > \sqrt{B}$ равносильно системе $\begin{cases} B \ge 0 \\ A > B \end{cases}$. Условие $A > B \ge 0$ гарантирует, что и $A$ неотрицательно.
1. Составим эквивалентную систему:
$\begin{cases} 2x - y \ge 0 \\ x + y - 1 > 2x - y \end{cases}$
2. Упростим эту систему:
Из первого неравенства: $y \le 2x$.
Из второго неравенства: $y + y > 2x - x + 1 \implies 2y > x + 1 \implies y > \frac{x + 1}{2}$.
3. Запишем итоговую систему:
$\begin{cases} y \le 2x \\ y > \frac{x + 1}{2} \end{cases}$
Решением является область на координатной плоскости, расположенная между прямыми $y = \frac{x+1}{2}$ (не включая саму прямую) и $y = 2x$ (включая прямую).
Ответ: $\begin{cases} y \le 2x \\ y > \frac{x + 1}{2} \end{cases}$
г) Исходное неравенство: $\sqrt{y^2 - 1} \ge \sqrt{2x - 1}$.
Неравенство вида $\sqrt{A} \ge \sqrt{B}$ равносильно системе $\begin{cases} B \ge 0 \\ A \ge B \end{cases}$. Условие $A \ge B \ge 0$ гарантирует, что и $A$ неотрицательно.
1. Составим эквивалентную систему:
$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ y^2 - 1 \ge 2x - 1 \end{cases}$
2. Упростим эту систему:
Из первого неравенства: $2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.
Из второго неравенства: $y^2 \ge 2x$.
3. Запишем итоговую систему:
$\begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ y^2 \ge 2x \end{cases}$
Заметим, что из этой системы автоматически следует выполнение ОДЗ для первого корня: $x \ge \frac{1}{2} \implies 2x \ge 1$. Тогда из $y^2 \ge 2x$ следует, что $y^2 \ge 1$, а значит $y^2 - 1 \ge 0$.
Решением является часть плоскости правее вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$ (включая прямую), которая лежит "снаружи" от параболы $y^2 = 2x$ (включая точки на самой параболе).
Ответ: $\begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ y^2 \ge 2x \end{cases}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 58.19 расположенного на странице 228 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №58.19 (с. 228), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.