Номер 58.21, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.21, страница 228.

58.21 a) $|x| + |y| \le 4;$

б) $2|x| + 3|y| \le 6.$

а) $|x| + |y| \le 4$

Данное неравенство определяет множество точек на координатной плоскости $(x, y)$. Чтобы найти это множество, сначала рассмотрим граничное уравнение $|x| + |y| = 4$. Из-за наличия модулей, фигура, описываемая этим уравнением, будет симметрична относительно обеих координатных осей и начала координат.

Рассмотрим уравнение в каждом из четырёх координатных квадрантов:

• В I квадранте ($x \ge 0, y \ge 0$): уравнение принимает вид $x + y = 4$. Это отрезок прямой линии, соединяющий точки на осях $(4, 0)$ и $(0, 4)$.
• Во II квадранте ($x < 0, y \ge 0$): уравнение принимает вид $-x + y = 4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 4)$ и $(-4, 0)$.
• В III квадранте ($x < 0, y < 0$): уравнение принимает вид $-x - y = 4$, что эквивалентно $x + y = -4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-4, 0)$ и $(0, -4)$.
• В IV квадранте ($x \ge 0, y < 0$): уравнение принимает вид $x - y = 4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -4)$ и $(4, 0)$.

Объединив эти четыре отрезка, мы получаем замкнутую фигуру — квадрат, вершины которого находятся в точках $(4, 0)$, $(0, 4)$, $(-4, 0)$ и $(0, -4)$.

Поскольку исходное условие представляет собой неравенство $|x| + |y| \le 4$, решением является не только граница этого квадрата, но и все точки внутри него. Чтобы убедиться в этом, можно взять пробную точку внутри фигуры, например, начало координат $(0, 0)$. Подставив её в неравенство, получим: $|0| + |0| = 0 \le 4$. Так как неравенство выполняется, вся внутренняя область квадрата является частью решения.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному неравенству, представляет собой замкнутую область, ограниченную квадратом с вершинами в точках $(4, 0)$, $(0, 4)$, $(-4, 0)$ и $(0, -4)$.

б) $2|x| + 3|y| \le 6$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Сначала рассмотрим граничное уравнение $2|x| + 3|y| = 6$. Эта фигура также будет симметрична относительно осей координат.

Рассмотрим уравнение в каждом из четырёх квадрантов:

• В I квадранте ($x \ge 0, y \ge 0$): уравнение имеет вид $2x + 3y = 6$. Найдем точки пересечения с осями: если $y=0$, то $2x=6 \implies x=3$; если $x=0$, то $3y=6 \implies y=2$. Это отрезок, соединяющий точки $(3, 0)$ и $(0, 2)$.
• Во II квадранте ($x < 0, y \ge 0$): уравнение имеет вид $-2x + 3y = 6$. Это отрезок, соединяющий точки $(0, 2)$ и $(-3, 0)$.
• В III квадранте ($x < 0, y < 0$): уравнение имеет вид $-2x - 3y = 6$. Это отрезок, соединяющий точки $(-3, 0)$ и $(0, -2)$.
• В IV квадранте ($x \ge 0, y < 0$): уравнение имеет вид $2x - 3y = 6$. Это отрезок, соединяющий точки $(0, -2)$ и $(3, 0)$.

Эти четыре отрезка образуют ромб с вершинами в точках $(3, 0)$, $(0, 2)$, $(-3, 0)$ и $(0, -2)$.

Неравенство $2|x| + 3|y| \le 6$ означает, что решением является сам ромб и все точки, находящиеся внутри него. Проверим это, подставив координаты точки $(0, 0)$: $2|0| + 3|0| = 0 \le 6$. Неравенство истинно, следовательно, внутренняя область ромба входит в решение.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному неравенству, представляет собой замкнутую область, ограниченную ромбом с вершинами в точках $(3, 0)$, $(0, 2)$, $(-3, 0)$ и $(0, -2)$.