Номер 58.23, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. §58. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 58.23, страница 229.

Условие.

58.23 Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:

a) $ \begin{cases} x \le 9, \\ y \le 0, \\ 2x + 5y \ge 10; \end{cases} $ б) $ \begin{cases} x + y \le 12, \\ y - x \le 12, \\ y \ge 0. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Для нахождения площади фигуры, заданной системой неравенств, сначала определим ее вершины. Фигура ограничена прямыми, уравнения которых получаются заменой знаков неравенства на знаки равенства: $x = 9$, $y = 0$ и $2x + 5y = 10$.

Найдем точки пересечения этих прямых:

1. Пересечение прямых $y=0$ и $2x + 5y = 10$.
Подставим $y=0$ в уравнение прямой: $2x + 5(0) = 10$, что дает $2x=10$, и $x=5$. Координаты первой вершины: $(5, 0)$.

2. Пересечение прямых $x=9$ и $y=0$.
Координаты второй вершины: $(9, 0)$.

3. Пересечение прямых $x=9$ и $2x + 5y = 10$.
Подставим $x=9$ в уравнение прямой: $2(9) + 5y = 10$, что дает $18 + 5y = 10$, откуда $5y = -8$ и $y = -1.6$. Координаты третьей вершины: $(9, -1.6)$.

Таким образом, фигура представляет собой треугольник с вершинами в точках $A(5, 0)$, $B(9, 0)$ и $C(9, -1.6)$.
Этот треугольник является прямоугольным, так как его стороны $AB$ и $BC$ параллельны осям координат ($AB$ лежит на оси Ox, а $BC$ параллельна оси Oy).
Длина катета $AB$ равна $9 - 5 = 4$.
Длина катета $BC$ равна $|0 - (-1.6)| = 1.6$.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1.6 = 3.2$.

Ответ: 3.2

б)

Данная система неравенств задает на координатной плоскости фигуру, ограниченную прямыми: $x + y = 12$, $y - x = 12$ и $y = 0$.

Найдем вершины этой фигуры, решая системы уравнений для пар этих прямых:

1. Пересечение прямых $x + y = 12$ и $y - x = 12$.
Сложим эти два уравнения: $(x + y) + (y - x) = 12 + 12$, что дает $2y=24$, и $y=12$. Подставив $y=12$ в первое уравнение, получаем $x + 12 = 12$, откуда $x=0$. Координаты первой вершины: $(0, 12)$.

2. Пересечение прямых $x + y = 12$ и $y = 0$.
Подставим $y=0$ в уравнение: $x + 0 = 12$, откуда $x=12$. Координаты второй вершины: $(12, 0)$.

3. Пересечение прямых $y - x = 12$ и $y = 0$.
Подставим $y=0$ в уравнение: $0 - x = 12$, откуда $x=-12$. Координаты третьей вершины: $(-12, 0)$.

Фигура является треугольником с вершинами в точках $A(0, 12)$, $B(12, 0)$ и $C(-12, 0)$.
Возьмем сторону $BC$ в качестве основания треугольника. Она лежит на оси Ox, и ее длина равна $|12 - (-12)| = 24$.
Высота треугольника, опущенная из вершины $A$ на основание $BC$, равна ординате точки $A$, то есть 12.
Площадь треугольника вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 12 = 144$.

Ответ: 144