Номер 58.23, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.23, страница 229.

58.23 Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:

a) $ \begin{cases} x \le 9, \\ y \le 0, \\ 2x + 5y \ge 10; \end{cases} $ б) $ \begin{cases} x + y \le 12, \\ y - x \le 12, \\ y \ge 0. \end{cases} $

а)

Для нахождения площади фигуры, заданной системой неравенств, сначала определим ее вершины. Фигура ограничена прямыми, уравнения которых получаются заменой знаков неравенства на знаки равенства: $x = 9$, $y = 0$ и $2x + 5y = 10$.

Найдем точки пересечения этих прямых:

1. Пересечение прямых $y=0$ и $2x + 5y = 10$.
Подставим $y=0$ в уравнение прямой: $2x + 5(0) = 10$, что дает $2x=10$, и $x=5$. Координаты первой вершины: $(5, 0)$.

2. Пересечение прямых $x=9$ и $y=0$.
Координаты второй вершины: $(9, 0)$.

3. Пересечение прямых $x=9$ и $2x + 5y = 10$.
Подставим $x=9$ в уравнение прямой: $2(9) + 5y = 10$, что дает $18 + 5y = 10$, откуда $5y = -8$ и $y = -1.6$. Координаты третьей вершины: $(9, -1.6)$.

Таким образом, фигура представляет собой треугольник с вершинами в точках $A(5, 0)$, $B(9, 0)$ и $C(9, -1.6)$.
Этот треугольник является прямоугольным, так как его стороны $AB$ и $BC$ параллельны осям координат ($AB$ лежит на оси Ox, а $BC$ параллельна оси Oy).
Длина катета $AB$ равна $9 - 5 = 4$.
Длина катета $BC$ равна $|0 - (-1.6)| = 1.6$.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1.6 = 3.2$.

Ответ: 3.2

б)

Данная система неравенств задает на координатной плоскости фигуру, ограниченную прямыми: $x + y = 12$, $y - x = 12$ и $y = 0$.

Найдем вершины этой фигуры, решая системы уравнений для пар этих прямых:

1. Пересечение прямых $x + y = 12$ и $y - x = 12$.
Сложим эти два уравнения: $(x + y) + (y - x) = 12 + 12$, что дает $2y=24$, и $y=12$. Подставив $y=12$ в первое уравнение, получаем $x + 12 = 12$, откуда $x=0$. Координаты первой вершины: $(0, 12)$.

2. Пересечение прямых $x + y = 12$ и $y = 0$.
Подставим $y=0$ в уравнение: $x + 0 = 12$, откуда $x=12$. Координаты второй вершины: $(12, 0)$.

3. Пересечение прямых $y - x = 12$ и $y = 0$.
Подставим $y=0$ в уравнение: $0 - x = 12$, откуда $x=-12$. Координаты третьей вершины: $(-12, 0)$.

Фигура является треугольником с вершинами в точках $A(0, 12)$, $B(12, 0)$ и $C(-12, 0)$.
Возьмем сторону $BC$ в качестве основания треугольника. Она лежит на оси Ox, и ее длина равна $|12 - (-12)| = 24$.
Высота треугольника, опущенная из вершины $A$ на основание $BC$, равна ординате точки $A$, то есть 12.
Площадь треугольника вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 12 = 144$.

Ответ: 144