Номер 58.22, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.22, страница 229.

58.22 a) $ \frac{4 - x^2}{2x + 3y - 6} \ge 0; $

б) $ \frac{x^2 + y^2 - 4}{|x| + |y| - 2} \le 0. $

а) $ \frac{4 - x^2}{2x + 3y - 6} \ge 0 $

Данное неравенство является дробно-рациональным. Дробь неотрицательна, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, либо если числитель равен нулю. Знаменатель при этом не может быть равен нулю.

Это условие равносильно совокупности двух систем неравенств:

1) $\begin{cases} 4 - x^2 \ge 0, \\ 2x + 3y - 6 > 0. \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4 - x^2 \le 0, \\ 2x + 3y - 6 < 0. \end{cases}$

Рассмотрим каждую систему отдельно.

Решение системы 1:

Из первого неравенства получаем: $4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 4 \Rightarrow -2 \le x \le 2$.

Из второго неравенства: $2x + 3y - 6 > 0 \Rightarrow 3y > -2x + 6 \Rightarrow y > -\frac{2}{3}x + 2$.

Решением первой системы является множество точек $(x,y)$, для которых $x$ находится в промежутке $[-2, 2]$ и которые лежат выше прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$. Граничные прямые $x=-2$ и $x=2$ включаются, а прямая $y = -\frac{2}{3}x + 2$ не включается.

Решение системы 2:

Из первого неравенства получаем: $4 - x^2 \le 0 \Rightarrow x^2 \ge 4 \Rightarrow x \le -2$ или $x \ge 2$.

Из второго неравенства: $2x + 3y - 6 < 0 \Rightarrow 3y < -2x + 6 \Rightarrow y < -\frac{2}{3}x + 2$.

Решением второй системы является множество точек $(x,y)$, для которых $x \le -2$ или $x \ge 2$, и которые лежат ниже прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$. Граничные прямые $x=-2$ и $x=2$ включаются, а прямая $y = -\frac{2}{3}x + 2$ не включается.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений обеих систем.

Ответ: Объединение двух множеств точек $(x,y)$: первое задается системой $\begin{cases} -2 \le x \le 2 \\ y > -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$, второе — системой $\begin{cases} x \le -2 \text{ или } x \ge 2 \\ y < -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$.

б) $ \frac{x^2 + y^2 - 4}{|x| + |y| - 2} \le 0 $

Неравенство имеет смысл при условии, что знаменатель не равен нулю, т.е. $|x| + |y| - 2 \ne 0 \Leftrightarrow |x| + |y| \ne 2$.

Дробь неположительна, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки, или если числитель равен нулю (при ненулевом знаменателе).

Это равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 4 \ge 0 \\ |x| + |y| - 2 < 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 4 \le 0 \\ |x| + |y| - 2 > 0 \end{cases}$

Рассмотрим геометрическую интерпретацию этих неравенств.
Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в (0,0) и радиусом 2. Неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает круг, ограниченный этой окружностью, включая границу.
Уравнение $|x| + |y| = 2$ задает квадрат с вершинами в точках (2,0), (0,2), (-2,0) и (0,-2). Неравенство $|x| + |y| < 2$ задает внутреннюю часть этого квадрата, а $|x| + |y| > 2$ — его внешнюю часть.

Анализ системы 1:

Ищем точки, которые лежат на окружности $x^2+y^2=4$ или вне ее, и одновременно внутри квадрата $|x|+|y|=2$.
Квадрат вписан в окружность, поэтому все точки внутри квадрата лежат также и внутри круга ($x^2+y^2 < 4$). Следовательно, нет точек, удовлетворяющих обоим условиям одновременно. Система 1 не имеет решений.

Анализ системы 2:

Ищем точки, которые лежат на окружности $x^2+y^2=4$ или внутри нее, и одновременно вне квадрата $|x|+|y|=2$.
Решением является множество точек, находящихся в круге $x^2+y^2 \le 4$, но за пределами квадрата $|x|+|y|=2$.
Это область, ограниченная снаружи окружностью $x^2+y^2=4$ (включая саму окружность) и изнутри — квадратом $|x|+|y|=2$ (не включая стороны квадрата).

Ответ: Множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих системе неравенств $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ |x| + |y| > 2 \end{cases}$. Геометрически это замкнутый круг радиуса 2 с центром в начале координат, из которого вырезана открытая внутренняя область квадрата с вершинами в точках $(\pm 2, 0), (0, \pm 2)$.