Номер 59.2, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.2, страница 229.

59.2 a) $\begin{cases} 3x = y + 1, \\ 7^{y - 2x + 2} = 7^{y - 4x + 1} + 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x = 2y, \\ \log_{\frac{1}{3}}(2y + x) + \log_{\frac{1}{3}}(x - y + 1) = \log_3 \frac{1}{y + 1}. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x = y + 1 \\ 7^{y - 2x + 2} = 7^{y - 4x + 1} + 6 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3x - 1$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$7^{(3x - 1) - 2x + 2} = 7^{(3x - 1) - 4x + 1} + 6$

Упростим показатели степеней:

$7^{x + 1} = 7^{-x} + 6$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m a^n$ и $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, перепишем уравнение:

$7 \cdot 7^x = \frac{1}{7^x} + 6$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

$7t = \frac{1}{t} + 6$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:

$7t^2 = 1 + 6t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$7t^2 - 6t - 1 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$. Корень $t_2 = -1/7$ не удовлетворяет условию. Следовательно, единственное решение для $t$ - это $t = 1$.

Вернемся к замене:

$7^x = t \implies 7^x = 1$

$7^x = 7^0$

$x = 0$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 3x - 1$:

$y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$

Таким образом, решение системы - пара чисел $(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x = 2y \\ \log_{\frac{1}{3}}(2y + x) + \log_{\frac{1}{3}}(x - y + 1) = \log_3\frac{1}{y + 1} \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 2y + x > 0 \\ x - y + 1 > 0 \\ \frac{1}{y + 1} > 0 \end{cases}$

Из третьего неравенства следует, что $y + 1 > 0$, то есть $y > -1$.

Подставим $x = 2y$ из первого уравнения в неравенства ОДЗ:

$\begin{cases} 2y + 2y > 0 \implies 4y > 0 \implies y > 0 \\ 2y - y + 1 > 0 \implies y + 1 > 0 \implies y > -1 \\ y > -1 \end{cases}$

Объединяя условия $y > 0$ и $y > -1$, получаем итоговое условие ОДЗ: $y > 0$.

Теперь преобразуем второе уравнение. Используем свойство суммы логарифмов в левой части: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$.

$\log_{\frac{1}{3}}((2y + x)(x - y + 1)) = \log_3\frac{1}{y + 1}$

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию и свойства логарифмов: $\log_a(b^n) = n \log_a b$.

$\log_3\frac{1}{y + 1} = \log_3(y+1)^{-1} = -\log_3(y+1)$

Так как $\log_{\frac{1}{3}} z = \log_{3^{-1}} z = -\log_3 z$, то $-\log_3(y+1) = \log_{\frac{1}{3}}(y+1)$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\log_{\frac{1}{3}}((2y + x)(x - y + 1)) = \log_{\frac{1}{3}}(y+1)$

Так как основания логарифмов равны, можем приравнять их аргументы:

$(2y + x)(x - y + 1) = y + 1$

Подставим $x = 2y$ в это уравнение:

$(2y + 2y)(2y - y + 1) = y + 1$

$(4y)(y + 1) = y + 1$

Перенесем все в левую часть и решим уравнение:

$4y(y + 1) - (y + 1) = 0$

$(y + 1)(4y - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y + 1 = 0 \implies y = -1$

$4y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{4}$

Сравним полученные корни с ОДЗ ($y > 0$). Корень $y = -1$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $y = 1/4$ удовлетворяет ОДЗ.

Теперь найдем $x$, используя $x = 2y$:

$x = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Решение системы - пара чисел $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$