Номер 59.9, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.9, страница 230.

Решите графически систему уравнений:

59.9 a) $\begin{cases} y + x = 3, \\ xy = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x(x - 4), \\ y + 8 = 2x. \end{cases}$

а) Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти их точки пересечения.

1. Построим график первого уравнения: $y + x = 3$.

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение функции: $y = -x + 3$.

Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

При $x=0$, $y = -0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.

При $x=3$, $y = -3 + 3 = 0$. Получаем точку $(3, 0)$.

2. Построим график второго уравнения: $xy = 2$.

Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{2}{x}$.

Это обратная пропорциональность, её график — гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Найдем несколько точек для построения графика:

при $x=1, y=2$; точка $(1, 2)$.
при $x=2, y=1$; точка $(2, 1)$.
при $x=-1, y=-2$; точка $(-1, -2)$.
при $x=-2, y=-1$; точка $(-2, -1)$.

3. Построив оба графика в одной системе координат, мы находим их точки пересечения. Координаты этих точек и являются решением системы.

Графики пересекаются в двух точках: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

б) Решим вторую систему уравнений графическим методом.

1. Построим график первого уравнения: $y = x(x - 4)$.

Раскроем скобки: $y = x^2 - 4x$.

Это квадратичная функция, её график — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).

Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_{в} = -\frac{b}{2a}$:

$x_{в} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Подставим $x_{в}$ в уравнение, чтобы найти $y_{в}$:

$y_{в} = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Вершина параболы находится в точке $(2, -4)$.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox), приравняв $y$ к нулю: $x(x-4) = 0$. Отсюда $x=0$ и $x=4$. Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

2. Построим график второго уравнения: $y + 8 = 2x$.

Выразим $y$ через $x$: $y = 2x - 8$.

Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой найдем две точки:

При $x=0$, $y = 2 \cdot 0 - 8 = -8$. Получаем точку $(0, -8)$.

При $x=4$, $y = 2 \cdot 4 - 8 = 0$. Получаем точку $(4, 0)$.

3. Построив параболу и прямую в одной системе координат, найдем их точки пересечения.

Графики пересекаются в двух точках: $(2, -4)$ и $(4, 0)$.

Ответ: $(2, -4), (4, 0)$.