Номер 59.10, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.10, страница 231.

59.10 a) $\begin{cases} y \cdot 2^{x+1} = 1, \\ \sqrt[3]{x} + 2 = y; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 2^{x-1}, \\ |x - 3| = y + 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y \cdot 2^{x+1} = 1, \\ \sqrt[3]{x+2} = y; \end{cases} $$

Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое.

$ (\sqrt[3]{x+2}) \cdot 2^{x+1} = 1 $

Определим область допустимых значений. Из первого уравнения системы $y = \frac{1}{2^{x+1}} = 2^{-(x+1)}$. Так как основание степени $2 > 0$, значение показательной функции всегда положительно, следовательно, $y > 0$.
Учитывая это, из второго уравнения получаем, что $\sqrt[3]{x+2} > 0$, что равносильно неравенству $x+2 > 0$, откуда $x > -2$.

Вернемся к уравнению $(\sqrt[3]{x+2}) \cdot 2^{x+1} = 1$.
Попробуем найти решение методом подбора. Пусть $x = -1$. Это значение удовлетворяет условию $x > -2$.
Подставим $x = -1$ в левую часть уравнения:
$ (\sqrt[3]{-1+2}) \cdot 2^{-1+1} = \sqrt[3]{1} \cdot 2^0 = 1 \cdot 1 = 1 $.
Левая часть равна правой ($1=1$), значит, $x = -1$ является корнем уравнения.

Чтобы доказать, что этот корень единственный, рассмотрим функцию $f(x) = (\sqrt[3]{x+2}) \cdot 2^{x+1}$ при $x > -2$.
Эта функция представляет собой произведение двух функций: $g(x) = \sqrt[3]{x+2}$ и $h(x) = 2^{x+1}$.
Функция $g(x)$ является возрастающей. Функция $h(x)$ также является возрастающей. На интервале $x > -2$ обе функции положительны.
Произведение двух положительных возрастающих функций является строго возрастающей функцией. Следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает, и каждое свое значение она может принимать только один раз. Таким образом, уравнение $f(x)=1$ имеет единственный корень, который мы уже нашли: $x = -1$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -1$ во второе уравнение системы:

$ y = \sqrt[3]{-1+2} = \sqrt[3]{1} = 1 $

Таким образом, решением системы является пара чисел $(-1; 1)$.

Ответ: $(-1; 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y = 2^{x-1}, \\ |x-3| = y+1. \end{cases} $$

Применим метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$ |x-3| = 2^{x-1} + 1 $

Для решения уравнения с модулем рассмотрим два случая.

Случай 1: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
В этом случае $|x-3| = x-3$, и уравнение принимает вид:
$ x-3 = 2^{x-1} + 1 $
$ x-4 = 2^{x-1} $

Рассмотрим две функции: $f(x) = x-4$ (линейная, возрастающая) и $g(x) = 2^{x-1}$ (показательная, возрастающая).
При $x=3$, $f(3) = 3-4 = -1$, а $g(3) = 2^{3-1} = 4$. Видим, что $f(3) < g(3)$.
Поскольку показательная функция $g(x)$ растет значительно быстрее линейной $f(x)$ при $x \ge 3$, а в начальной точке интервала $g(x)$ уже больше $f(x)$, то их графики не пересекутся. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x-3 < 0$, то есть $x < 3$.
В этом случае $|x-3| = -(x-3) = 3-x$, и уравнение принимает вид:
$ 3-x = 2^{x-1} + 1 $
$ 2-x = 2^{x-1} $

Рассмотрим функции $h(x) = 2-x$ и $k(x) = 2^{x-1}$.
Функция $h(x) = 2-x$ является строго убывающей.
Функция $k(x) = 2^{x-1}$ является строго возрастающей.
Строго убывающая и строго возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем ее подбором.
Пусть $x=1$. Это значение удовлетворяет условию $x < 3$.
Левая часть: $h(1) = 2-1 = 1$.
Правая часть: $k(1) = 2^{1-1} = 2^0 = 1$.
Поскольку $1=1$, $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ в первое уравнение системы:

$ y = 2^{1-1} = 2^0 = 1 $

Таким образом, решением системы является пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.