Номер 59.17, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.17, страница 231.

59.17 a)

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5, \\ xy = 216; \end{cases} $$

б)

$$ \begin{cases} \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 1, \\ \sqrt{xy} = 4. \end{cases} $$

a)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5, \\ xy = 216; \end{cases} $

Для решения введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.
Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$.

Подставим эти выражения во второе уравнение системы:
$a^3 b^3 = 216$
$(ab)^3 = 6^3$
$ab = 6$

Первое уравнение системы в новых переменных будет выглядеть так:
$a + b = 5$

Таким образом, мы получили новую систему уравнений для $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a + b = 5, \\ ab = 6; \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - 5t + 6 = 0$.
Найдем корни этого уравнения, например, разложив на множители: $(t-2)(t-3)=0$.
Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.
Следовательно, у нас есть два случая для пар $(a, b)$: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Случай 1: $a = 2$, $b = 3$.
$ \sqrt[3]{x} = 2 \implies x = 2^3 = 8 $
$ \sqrt[3]{y} = 3 \implies y = 3^3 = 27 $
Получили решение $(8, 27)$.

Случай 2: $a = 3$, $b = 2$.
$ \sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27 $
$ \sqrt[3]{y} = 2 \implies y = 2^3 = 8 $
Получили решение $(27, 8)$.

Оба решения удовлетворяют исходной системе.
Ответ: $(8, 27), (27, 8)$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 1, \\ \sqrt{xy} = 4; \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$.
Введем новые переменные. Пусть $u = \sqrt[4]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$, где $u \ge 0, v \ge 0$.
Тогда $x = u^4$ и $y = v^4$.

Подставим эти выражения во второе уравнение системы:
$\sqrt{u^4 v^4} = 4$
$\sqrt{(uv)^4} = 4$
$(uv)^2 = 4$
Поскольку $u \ge 0$ и $v \ge 0$, то $uv \ge 0$. Следовательно, $uv = 2$.

Первое уравнение системы в новых переменных будет выглядеть так:
$u - v = 1$

Таким образом, мы получили новую систему уравнений для $u$ и $v$:
$ \begin{cases} u - v = 1, \\ uv = 2; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $u$: $u = 1 + v$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(1+v)v = 2$
$v^2 + v - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $v$. Корни можно найти, например, по теореме Виета: $v_1 = 1$, $v_2 = -2$.
Так как $v = \sqrt[4]{y}$, то $v$ не может быть отрицательным ($v \ge 0$). Поэтому корень $v_2 = -2$ является посторонним.
Единственное возможное значение для $v$ это $v = 1$.

Теперь найдем $u$:
$u = 1 + v = 1 + 1 = 2$

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
$ \sqrt[4]{x} = u = 2 \implies x = 2^4 = 16 $
$ \sqrt[4]{y} = v = 1 \implies y = 1^4 = 1 $

Проверка показывает, что найденное решение $(16, 1)$ удовлетворяет исходной системе.
Ответ: $(16, 1)$.