Номер 59.20, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.20, страница 232.

59.20 a) $$\begin{cases} \log_{13}(x^2 + y^2) = 0,5 \log_{\pi} \pi^2, \\ \log_3 x - 1 = \log_3 2 - \log_3 y; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \log_7(x + y) = 4 \log_7(x - y), \\ \log_7(x + y) = 5 \log_7 3 - \log_7(x - y). \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_{13}(x^2 + y^2) = 0,5 \log_{\pi} \pi^2, \\ \log_3 x - 1 = \log_3 2 - \log_3 y; \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из аргументов логарифмов следует, что $x > 0$ и $y > 0$. При этих условиях $x^2 + y^2 > 0$ также выполняется.

Рассмотрим первое уравнение. Упростим его правую часть, используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$ и основное логарифмическое тождество $\log_a a = 1$:

$0,5 \log_{\pi} \pi^2 = 0,5 \cdot 2 \cdot \log_{\pi} \pi = 1 \cdot 1 = 1$.

Теперь первое уравнение имеет вид: $\log_{13}(x^2 + y^2) = 1$.

По определению логарифма, это эквивалентно $x^2 + y^2 = 13^1 = 13$.

Рассмотрим второе уравнение. Представим $1$ как логарифм по основанию 3: $1 = \log_3 3$.

$\log_3 x - \log_3 3 = \log_3 2 - \log_3 y$

Используя свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b(a/c)$, преобразуем обе части уравнения:

$\log_3(x/3) = \log_3(2/y)$

Так как основания логарифмов равны, то и их аргументы должны быть равны:

$x/3 = 2/y$, откуда получаем $xy = 6$.

В результате мы получили систему алгебраических уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = 6. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 6/x$. (Деление на $x$ возможно, так как по ОДЗ $x > 0$). Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (6/x)^2 = 13$

$x^2 + 36/x^2 = 13$

Умножим обе части уравнения на $x^2$ (которое не равно нулю):

$x^4 + 36 = 13x^2$

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x > 0$, то $t > 0$.

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а произведение равно 36. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Так как $x > 0$, то $x = 2$. Тогда $y = 6/x = 6/2 = 3$. Эта пара (2, 3) удовлетворяет ОДЗ ($2 > 0$ и $3 > 0$).

2) Если $t = 9$, то $x^2 = 9$. Так как $x > 0$, то $x = 3$. Тогда $y = 6/x = 6/3 = 2$. Эта пара (3, 2) также удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$ и $2 > 0$).

Ответ: (2, 3), (3, 2).

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_7(x + y) = 4 \log_7(x - y), \\ \log_7(x + y) = 5 \log_7 3 - \log_7(x - y). \end{cases} $

ОДЗ: $x+y > 0$ и $x-y > 0$.

Для удобства решения введем замену: пусть $a = \log_7(x + y)$ и $b = \log_7(x - y)$. Система уравнений примет вид:

$ \begin{cases} a = 4b, \\ a = 5 \log_7 3 - b. \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем их правые части:

$4b = 5 \log_7 3 - b$

$5b = 5 \log_7 3$

$b = \log_7 3$

Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в первое уравнение системы: $a = 4b = 4 \log_7 3$.

Выполним обратную замену:

1) $b = \log_7(x - y)$. Так как $b = \log_7 3$, то $\log_7(x - y) = \log_7 3$, откуда $x - y = 3$.

2) $a = \log_7(x + y)$. Так как $a = 4 \log_7 3$, то $\log_7(x + y) = 4 \log_7 3$. Используя свойство степени логарифма, $c \log_b a = \log_b a^c$, получаем: $\log_7(x+y) = \log_7 3^4 = \log_7 81$. Отсюда $x + y = 81$.

В результате мы получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 81, \\ x - y = 3. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 81+3$, что дает $2x = 84$, и $x = 42$.

Подставим найденное значение $x=42$ в первое уравнение: $42 + y = 81$, откуда $y = 81 - 42 = 39$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение (42, 39) ОДЗ:

$x+y = 42+39 = 81 > 0$.

$x-y = 42-39 = 3 > 0$.

Оба условия выполнены, следовательно, решение верно.

Ответ: (42, 39).