Номер 59.14, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.14, страница 231.

59.14 a) $$ \begin{cases} \sqrt{x + 1} - y = 2, \\ \log_{7}(4 - x) = y; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} y + x = 1, \\ 2^{x - y} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \cdot \frac{8^{\frac{2}{3}}}{2}. \end{cases} $$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x+1} - y = 2, \\ \log_7(4-x) = y \end{cases}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).
Из первого уравнения, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, что дает $x \ge -1$.
Из второго уравнения, аргумент логарифма должен быть строго положительным: $4-x > 0$, что дает $x < 4$.
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ для $x$: $x \in [-1; 4)$.

Решим систему методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$\sqrt{x+1} - \log_7(4-x) = 2$

Перенесем 2 в левую часть, а логарифм в правую:

$\sqrt{x+1} - 2 = \log_7(4-x)$

Рассмотрим функции в левой и правой частях этого уравнения.
Функция $f(x) = \sqrt{x+1} - 2$ является возрастающей на своей области определения.
Функция $g(x) = \log_7(4-x)$ является убывающей, так как основание логарифма $7 > 1$, а выражение под логарифмом $4-x$ является убывающей функцией от $x$.

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение имеет не более одного решения. Попробуем найти это решение методом подбора, используя целые числа из ОДЗ.

Пусть $x=3$. Проверим это значение:
Левая часть: $\sqrt{3+1} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$.
Правая часть: $\log_7(4-3) = \log_7(1) = 0$.
Поскольку $0=0$, значение $x=3$ является корнем уравнения.

Теперь найдем соответствующее значение $y$. Подставим $x=3$ во второе уравнение исходной системы:

$y = \log_7(4-3) = \log_7(1) = 0$.

Решение системы - пара чисел $(3; 0)$.

Ответ: $(3; 0)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y + x = 1, \\ 2^{x-y} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \cdot \frac{8^{\frac{2}{3}}}{2} \end{cases}$

Упростим правую часть второго уравнения. Выполним вычисления по частям:

$\left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4$

$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$

Теперь подставим эти значения обратно в выражение:

$4 \cdot \frac{4}{2} = 4 \cdot 2 = 8$.

Таким образом, второе уравнение принимает вид:

$2^{x-y} = 8$

Так как $8 = 2^3$, мы можем записать:

$2^{x-y} = 2^3$

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$x - y = 3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 1, \\ x - y = 3 \end{cases}$

Сложим оба уравнения, чтобы исключить $y$:

$(x+y) + (x-y) = 1 + 3$

$2x = 4$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение системы ($x+y=1$):

$2 + y = 1$

$y = 1 - 2$

$y = -1$

Решение системы - пара чисел $(2; -1)$.

Ответ: $(2; -1)$.