Номер 59.11, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.11, страница 231.

Решите систему уравнений:

59.11 a) $\begin{cases} y + 2x = 3, \\ x^2 + y^2 = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{y}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^x, \\ y = \log_2 x. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y + 2x = 3, \\ x^2 + y^2 = 2; \end{cases}$

Это система, состоящая из линейного и квадратного уравнений. Решим ее методом подстановки.

1. Выразим y из первого (линейного) уравнения:

$y = 3 - 2x$

2. Подставим полученное выражение для y во второе уравнение:

$x^2 + (3 - 2x)^2 = 2$

3. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно x:

$x^2 + 9 - 12x + 4x^2 = 2$

$5x^2 - 12x + 9 - 2 = 0$

$5x^2 - 12x + 7 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 - 140 = 4$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 2}{10} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$

4. Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного x, используя выражение $y = 3 - 2x$.

При $x_1 = \frac{7}{5}$:

$y_1 = 3 - 2 \cdot \frac{7}{5} = 3 - \frac{14}{5} = \frac{15}{5} - \frac{14}{5} = \frac{1}{5}$

Первое решение: $(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$.

При $x_2 = 1$:

$y_2 = 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$

Второе решение: $(1, 1)$.

Ответ: $(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$, $(1, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{y}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^x, \\ y = \log_2 x; \end{cases}$

1. Упростим первое уравнение:

$\frac{y}{9} = (3^{-1})^x$

$\frac{y}{9} = 3^{-x}$

$y = 9 \cdot 3^{-x} = 3^2 \cdot 3^{-x}$

$y = 3^{2-x}$

2. Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} y = 3^{2-x}, \\ y = \log_2 x; \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$3^{2-x} = \log_2 x$

3. Проанализируем функции в левой и правой частях уравнения. Функция $f(x) = 3^{2-x}$ является показательной функцией, она монотонно убывает на всей своей области определения. Функция $g(x) = \log_2 x$ является логарифмической функцией, она монотонно возрастает на своей области определения ($x > 0$).

Так как одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, они могут иметь не более одной точки пересечения, то есть данное уравнение может иметь не более одного корня.

4. Попробуем найти решение методом подбора. Проверим простые целые значения x. Из области определения логарифма следует, что $x > 0$.

Пусть $x = 2$:

Левая часть: $3^{2-2} = 3^0 = 1$.

Правая часть: $\log_2 2 = 1$.

Поскольку левая и правая части равны, $x = 2$ является корнем уравнения.

5. Найдем соответствующее значение y:

$y = \log_2 2 = 1$

Таким образом, единственным решением системы является пара чисел $(2, 1)$.

Ответ: $(2, 1)$.