Номер 59.5, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.5, страница 230.

Решите систему уравнений методом введения новых переменных:

59.5 а) $\begin{cases}\frac{5}{3x - y} + \frac{3}{x - 3y} = -2, \\ \frac{15}{3x - y} + \frac{2}{x - 3y} = 1;\end{cases}$

б) $\begin{cases}\frac{3}{x + y} + \frac{6}{x - y} = -1, \\ \frac{5}{x + y} + \frac{9}{x - y} = -2.\end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}\frac{5}{3x-y} + \frac{3}{x-3y} = -2 \\\frac{15}{3x-y} + \frac{2}{x-3y} = 1\end{cases}$$

Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{3x-y}$ и $v = \frac{1}{x-3y}$. Тогда система примет вид:

$$\begin{cases}5u + 3v = -2 \\15u + 2v = 1\end{cases}$$

Для решения этой системы методом сложения, умножим первое уравнение на -3:

$$\begin{cases}-15u - 9v = 6 \\15u + 2v = 1\end{cases}$$

Теперь сложим уравнения системы:

$(-15u - 9v) + (15u + 2v) = 6 + 1$

$-7v = 7$

$v = -1$

Подставим найденное значение $v$ в первое уравнение системы для новых переменных ($5u + 3v = -2$):

$5u + 3(-1) = -2$

$5u - 3 = -2$

$5u = 1$

$u = \frac{1}{5}$

Теперь, когда мы нашли значения $u$ и $v$, выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$$\begin{cases}\frac{1}{3x-y} = u \\\frac{1}{x-3y} = v\end{cases}\implies\begin{cases}\frac{1}{3x-y} = \frac{1}{5} \\\frac{1}{x-3y} = -1\end{cases}$$

Из этого получаем новую систему линейных уравнений:

$$\begin{cases}3x - y = 5 \\x - 3y = -1\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 3x - 5$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x - 3(3x - 5) = -1$

$x - 9x + 15 = -1$

$-8x = -16$

$x = 2$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 3x - 5$:

$y = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1$

Таким образом, решение системы: $(2, 1)$.

Ответ: $(2, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}\frac{3}{x+y} + \frac{6}{x-y} = -1 \\\frac{5}{x+y} + \frac{9}{x-y} = -2\end{cases}$$

Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x+y}$ и $b = \frac{1}{x-y}$. Система уравнений преобразуется к виду:

$$\begin{cases}3a + 6b = -1 \\5a + 9b = -2\end{cases}$$

Решим эту систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными числами:

$$\begin{cases}-9a - 18b = 3 \\10a + 18b = -4\end{cases}$$

Сложим уравнения полученной системы:

$(-9a - 18b) + (10a + 18b) = 3 + (-4)$

$a = -1$

Подставим значение $a = -1$ в первое уравнение системы для новых переменных ($3a + 6b = -1$):

$3(-1) + 6b = -1$

$-3 + 6b = -1$

$6b = 2$

$b = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Выполним обратную замену:

$$\begin{cases}\frac{1}{x+y} = a \\\frac{1}{x-y} = b\end{cases}\implies\begin{cases}\frac{1}{x+y} = -1 \\\frac{1}{x-y} = \frac{1}{3}\end{cases}$$

Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$$\begin{cases}x + y = -1 \\x - y = 3\end{cases}$$

Сложим два уравнения этой системы:

$(x + y) + (x - y) = -1 + 3$

$2x = 2$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение ($x + y = -1$):

$1 + y = -1$

$y = -2$

Решение системы: $(1, -2)$.

Ответ: $(1, -2)$.