Номер 59.7, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.7, страница 230.

59.7 a) $\begin{cases}3\sqrt[3]{x+y} = \log_2 16x^2, \\\log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x+y} = 6;\end{cases}$

б) $\begin{cases}3^{x-y} - 7|2y-x| = 2, \\|2y-x| - 3^{x-y-1} = -2.\end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3\sqrt[3]{x} + y = \log_2 16x^2, \\ \log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x} + y = 6 \end{cases} $

Область допустимых значений для переменной $x$ определяется из условия существования логарифмов: $16x^2 > 0$ и $x^2 > 0$. Оба условия выполняются при $x \neq 0$.

Упростим первое уравнение, используя свойство логарифма произведения: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$.

$\log_2 16x^2 = \log_2 16 + \log_2 x^2 = 4 + \log_2 x^2$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы. Система примет вид:

$ \begin{cases} 3\sqrt[3]{x} + y = 4 + \log_2 x^2, \\ \log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x} + y = 6 \end{cases} $

Для удобства введем замены: пусть $u = \sqrt[3]{x}$ и $v = \log_2 x^2$.

Система в новых переменных:

$ \begin{cases} 3u + y = 4 + v \\ 2u + y + v = 6 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого. Для этого сначала приведем их к удобному для вычитания виду:

$y = 4 + v - 3u$

$y = 6 - v - 2u$

Приравняем правые части выражений для $y$:

$4 + v - 3u = 6 - v - 2u$

Перенесем слагаемые с $v$ в левую часть, а с $u$ и константы — в правую:

$v + v = 6 - 4 + 3u - 2u$

$2v = 2 + u$

Теперь выполним обратную замену, подставив $u = \sqrt[3]{x}$ и $v = \log_2 x^2$:

$2\log_2 x^2 = 2 + \sqrt[3]{x}$

Используем свойство логарифма степени $\log_a b^c = c\log_a|b|$ (модуль необходим, так как $x^2$ положительно и при отрицательных $x$):

$2(2\log_2|x|) = 2 + \sqrt[3]{x}$

$4\log_2|x| = 2 + \sqrt[3]{x}$

Мы получили трансцендентное уравнение, которое связывает логарифмическую и степенную функции. Такие уравнения, как правило, не решаются аналитически в элементарных функциях. Проверка простых значений (целые числа, степени двойки) не дает решений. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Решение исходной системы в том виде, как она дана, требует применения численных методов.

Ответ: Решение системы сводится к решению трансцендентного уравнения $4\log_2|x| - \sqrt[3]{x} = 2$, которое не решается аналитически в элементарных функциях.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^{x-y} - 7|2y-x| = 2, \\ |2y-x| - 3^{x-y-1} = -2 \end{cases} $

Заметим, что в системе присутствуют повторяющиеся выражения. Сделаем замену переменных для упрощения системы:

Пусть $a = 3^{x-y}$ и $b = |2y-x|$.

Выражение $3^{x-y-1}$ можно представить через $a$:

$3^{x-y-1} = 3^{x-y} \cdot 3^{-1} = \frac{3^{x-y}}{3} = \frac{a}{3}$.

Теперь система уравнений в переменных $a$ и $b$ выглядит так:

$ \begin{cases} a - 7b = 2, \\ b - \frac{a}{3} = -2 \end{cases} $

Решим эту линейную систему. Из второго уравнения выразим $b$:

$b = \frac{a}{3} - 2$.

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение:

$a - 7\left(\frac{a}{3} - 2\right) = 2$

$a - \frac{7a}{3} + 14 = 2$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:

$3a - 7a + 42 = 6$

$-4a = 6 - 42$

$-4a = -36$

$a = 9$.

Теперь найдем значение $b$:

$b = \frac{a}{3} - 2 = \frac{9}{3} - 2 = 3 - 2 = 1$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$a = 3^{x-y} = 9 \implies 3^{x-y} = 3^2 \implies x-y=2$.

$b = |2y-x| = 1$.

Уравнение с модулем дает два случая:

1) $2y - x = 1$

2) $2y - x = -1$

Решим две системы линейных уравнений.

Случай 1:

$ \begin{cases} x - y = 2 \\ 2y - x = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения $x = y+2$. Подставим во второе:

$2y - (y+2) = 1$

$y - 2 = 1 \implies y = 3$.

Тогда $x = 3+2 = 5$. Первое решение: $(5, 3)$.

Случай 2:

$ \begin{cases} x - y = 2 \\ 2y - x = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения $x = y+2$. Подставим во второе:

$2y - (y+2) = -1$

$y - 2 = -1 \implies y = 1$.

Тогда $x = 1+2 = 3$. Второе решение: $(3, 1)$.

Ответ: $(5, 3), (3, 1)$.