Номер 59.3, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.3, страница 230.

Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

59.3 a) $ \begin{cases} 3x + 2y = 1, \\ x - y = -3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1, \\ 3\sqrt{x} - 2\sqrt{y} = 4; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x + y^2 = 2, \\ 2y^2 + x^2 = 3; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{y} = 3, \\ 3\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[4]{y} = 1. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + 2y = 1, \\ x - y = -3. \end{cases} $

Для использования метода алгебраического сложения, умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными по знаку:

$2(x - y) = 2(-3) \implies 2x - 2y = -6$.

Теперь сложим почленно первое уравнение исходной системы и преобразованное второе уравнение:

$(3x + 2y) + (2x - 2y) = 1 + (-6)$

$5x = -5$

$x = -1$

Подставим найденное значение $x = -1$ во второе уравнение исходной системы ($x - y = -3$):

$-1 - y = -3$

$-y = -3 + 1$

$-y = -2 \implies y = 2$.

Ответ: $(-1; 2)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1, \\ 3\sqrt{x} - 2\sqrt{y} = 4. \end{cases} $

Введем замену переменных: пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$, где $u \ge 0$ и $v \ge 0$. Система примет вид:

$ \begin{cases} 2u - 3v = 1, \\ 3u - 2v = 4. \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:

$ \begin{cases} 6u - 9v = 3, \\ -6u + 4v = -8. \end{cases} $

Сложим уравнения полученной системы:

$(6u - 9v) + (-6u + 4v) = 3 + (-8)$

$-5v = -5 \implies v = 1$.

Подставим $v = 1$ в первое уравнение для $u$ и $v$ ($2u - 3v = 1$):

$2u - 3(1) = 1 \implies 2u = 4 \implies u = 2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = u = 2 \implies x = 4$.

$\sqrt{y} = v = 1 \implies y = 1$.

Ответ: $(4; 1)$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y^2 = 2, \\ 2y^2 + x^2 = 3. \end{cases} $

Умножим первое уравнение на -2, чтобы при сложении с другим уравнением сократить члены с $y^2$:

$-2(x + y^2) = -2(2) \implies -2x - 2y^2 = -4$.

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением исходной системы:

$(-2x - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = -4 + 3$

$x^2 - 2x = -1$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Полученное уравнение является полным квадратом: $(x-1)^2 = 0$, откуда $x = 1$.

Подставим $x = 1$ в первое уравнение исходной системы ($x + y^2 = 2$):

$1 + y^2 = 2 \implies y^2 = 1$.

Это уравнение имеет два корня: $y = 1$ и $y = -1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; 1)$, $(1; -1)$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{y} = 3, \\ 3\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[4]{y} = 1. \end{cases} $

Введем замену переменных: пусть $u = \sqrt[3]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$, где $v \ge 0$. Система примет вид:

$ \begin{cases} u + v = 3, \\ 3u - 5v = 1. \end{cases} $

Умножим первое уравнение на -3:

$-3(u + v) = -3(3) \implies -3u - 3v = -9$.

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы для $u$ и $v$:

$(-3u - 3v) + (3u - 5v) = -9 + 1$

$-8v = -8 \implies v = 1$.

Подставим $v = 1$ в уравнение $u+v=3$:

$u + 1 = 3 \implies u = 2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[3]{x} = u = 2 \implies x = 2^3 = 8$.

$\sqrt[4]{y} = v = 1 \implies y = 1^4 = 1$.

Ответ: $(8; 1)$.