Номер 59.8, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.8, страница 230.

59.8 Применяя графический метод, определите, сколько решений имеет система уравнений:

а) $\begin{cases} y = x^2, \\ y = \cos x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = 2 - x^2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = \sin x, \\ y = 0,1x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y + 2 = \sqrt{x + 4}, \\ y + x^3 = 0. \end{cases}$

а) Для определения количества решений системы необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = \cos(x)$ и найти количество точек их пересечения. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. График функции $y = \cos(x)$ — это косинусоида, периодическая функция, значения которой лежат в отрезке $[-1, 1]$. Обе функции являются четными, следовательно, их графики симметричны относительно оси OY. Это означает, что если есть решение $(x_0, y_0)$ при $x_0 \ne 0$, то есть и решение $(-x_0, y_0)$. Рассмотрим поведение графиков при $x \ge 0$. В точке $x=0$ парабола имеет значение $y=0^2=0$, а косинусоида $y=\cos(0)=1$. При $x>0$ парабола $y=x^2$ возрастает. На интервале $(0, \pi/2)$ функция $y=\cos(x)$ убывает от 1 до 0. Так как в точке $x=0$ парабола ниже косинусоиды ($0<1$), а в точке $x=\pi/2 \approx 1.57$ парабола выше косинусоиды ($( \pi/2 )^2 \approx 2.47 > 0$), на интервале $(0, \pi/2)$ графики пересекаются в одной точке. При $x \ge \pi/2$, значение $y=x^2 \ge (\pi/2)^2 \approx 2.47$, в то время как $y=\cos(x) \le 1$. Следовательно, при $x \ge \pi/2$ пересечений быть не может. Таким образом, существует одна точка пересечения для $x>0$. В силу симметрии, существует еще одна точка пересечения для $x<0$. Всего система имеет два решения.
Ответ: 2.

б) Для решения данной системы построим графики обоих уравнений. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Второе уравнение $y = 2 - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 2)$. Построим эти графики в одной системе координат. Вершина параболы, точка $(0, 2)$, лежит на окружности, так как $0^2 + 2^2 = 4$. Это первая точка пересечения. Чтобы найти другие точки пересечения, подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $x^2 + (2 - x^2)^2 = 4$ $x^2 + 4 - 4x^2 + x^4 = 4$ $x^4 - 3x^2 = 0$ Вынесем $x^2$ за скобки: $x^2(x^2 - 3) = 0$ Это уравнение имеет решения: 1) $x^2 = 0 \implies x = 0$. Этому значению соответствует $y = 2 - 0^2 = 2$. Точка $(0, 2)$, которую мы уже нашли. 2) $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$ или $x = -\sqrt{3}$. Если $x = \sqrt{3}$, то $y = 2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$. Точка $(\sqrt{3}, -1)$. Если $x = -\sqrt{3}$, то $y = 2 - (-\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$. Точка $(-\sqrt{3}, -1)$. Таким образом, графики пересекаются в трех точках.
Ответ: 3.

в) Построим графики функций $y = \sin(x)$ и $y = 0,1x$. Количество решений системы равно количеству точек пересечения этих графиков. График $y = \sin(x)$ — синусоида, значения которой находятся в пределах от -1 до 1. График $y = 0,1x$ — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $0,1$. Обе функции нечетные, поэтому их графики симметричны относительно начала координат. Очевидно, что точка $(0, 0)$ является решением системы. Рассмотрим количество пересечений для $x > 0$. Пересечения могут существовать только пока $|0,1x| \le 1$, то есть для $x \le 10$. - Производная $(\sin x)' = \cos x$, в точке $x=0$ она равна $1$. Производная $(0,1x)' = 0,1$. Так как $1 > 0,1$, вблизи нуля график синуса лежит выше прямой. - На интервале $(0, \pi)$: $\sin(\pi)=0$, а $0,1\pi \approx 0,314 > 0$. Так как в начале интервала синусоида выше, а в конце — ниже, на этом интервале есть одна точка пересечения. - На интервале $[\pi, 2\pi]$: $\sin(x) \le 0$, а $0,1x > 0$, поэтому пересечений нет. - На интервале $(2\pi, 3\pi) \approx (6.28, 9.42)$: $\sin(x)$ снова положителен. Максимум синуса равен 1 в точке $x=5\pi/2 \approx 7,85$. В этой точке значение прямой $y = 0,1 \cdot (5\pi/2) \approx 0,785$. Так как максимум синусоиды (1) выше значения прямой (0,785) в этой точке, а на концах интервала синус равен 0 (ниже прямой), то прямая пересекает этот "горб" синусоиды дважды. - При $x > 10$ значение $y=0,1x$ становится больше 1, в то время как $\sin(x) \le 1$, поэтому других пересечений для $x>0$ нет. Итак, для $x > 0$ имеется $1 + 2 = 3$ точки пересечения. В силу симметрии, для $x < 0$ также будет 3 точки пересечения. Общее число решений: 3 (при $x > 0$) + 3 (при $x < 0$) + 1 (при $x=0$) = 7.
Ответ: 7.

г) Преобразуем уравнения системы для построения графиков функций: 1) $y + 2 = \sqrt{x + 4} \implies y = \sqrt{x + 4} - 2$ 2) $y + x^3 = 0 \implies y = -x^3$ График функции $y = \sqrt{x + 4} - 2$ — это график функции $y=\sqrt{x}$, смещенный на 4 единицы влево и 2 единицы вниз. Область определения функции: $x \ge -4$. Эта функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. График функции $y = -x^3$ — это кубическая парабола, которая является монотонно убывающей на всей числовой оси. Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Найдем точку пересечения, подставив $x=0$ в оба уравнения: 1) $y = \sqrt{0 + 4} - 2 = 2 - 2 = 0$ 2) $y = -0^3 = 0$ Оба уравнения удовлетворяются при $x=0, y=0$. Следовательно, точка $(0, 0)$ является точкой пересечения. Так как возрастающая и убывающая функции могут иметь не более одной общей точки, это единственное решение системы.
Ответ: 1.