Номер 59.13, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.13, страница 231.

59.13 a) $\begin{cases} \sqrt{\frac{y-x}{2x}} - \sqrt{\frac{x}{x+y}} = \frac{1}{2}, \\ 16\sqrt{\frac{x}{x+y}} - 7\sqrt{\frac{y-x}{2x}} = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2^{y+x} - 3^{x-y} = 1, \\ 2^{x+y} + 3^{x-y} = 3. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}\sqrt{\frac{y-x}{2x}} - \sqrt{\frac{x}{x+y}} = \frac{1}{2} \\16\sqrt{\frac{x}{x+y}} - 7\sqrt{\frac{y-x}{2x}} = 1\end{cases}$$

Для решения системы введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt{\frac{y-x}{2x}}$ и $v = \sqrt{\frac{x}{x+y}}$. Так как значения квадратных корней не могут быть отрицательными, должно выполняться $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

С новыми переменными система примет вид:

$$\begin{cases}u - v = \frac{1}{2} \\16v - 7u = 1\end{cases}$$

Это система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Из первого уравнения выразим $u$: $u = v + \frac{1}{2}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$16v - 7(v + \frac{1}{2}) = 1$

$16v - 7v - 3.5 = 1$

$9v = 4.5$

$v = \frac{4.5}{9} = 0.5 = \frac{1}{2}$

Теперь найдем $u$:

$u = v + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Найденные значения $u=1$ и $v=1/2$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$\sqrt{\frac{y-x}{2x}} = 1 \implies \frac{y-x}{2x} = 1^2 \implies y-x = 2x \implies y = 3x$

$\sqrt{\frac{x}{x+y}} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{x+y} = (\frac{1}{2})^2 \implies \frac{x}{x+y} = \frac{1}{4} \implies 4x = x+y \implies y = 3x$

Оба уравнения приводят к одному и тому же соотношению $y=3x$. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений.

Необходимо также проверить область допустимых значений (ОДЗ) для исходных выражений. Знаменатели не должны быть равны нулю, а подкоренные выражения должны быть неотрицательны:

$x \ne 0$, $x+y \ne 0$, $\frac{y-x}{2x} \ge 0$ и $\frac{x}{x+y} \ge 0$.

Подставляя $y=3x$ в эти условия, получаем:

$x \ne 0$ (это основное ограничение).

$x+y = x+3x = 4x \ne 0$, что выполняется при $x \ne 0$.

$\frac{y-x}{2x} = \frac{3x-x}{2x} = \frac{2x}{2x} = 1$. Условие $1 \ge 0$ выполнено.

$\frac{x}{x+y} = \frac{x}{x+3x} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$. Условие $\frac{1}{4} \ge 0$ выполнено.

Следовательно, решением является любая пара чисел $(x, y)$, для которой $y=3x$ при любом $x \ne 0$.

Ответ: $y=3x, x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}2^{y+x} - 3^{x-y} = 1 \\2^{x+y} + 3^{x-y} = 3\end{cases}$$

Введем замену переменных для упрощения системы. Пусть $a = 2^{x+y}$ и $b = 3^{x-y}$. Так как основание степени положительно, то $a > 0$ и $b > 0$.

Система в новых переменных выглядит следующим образом:

$$\begin{cases}a - b = 1 \\a + b = 3\end{cases}$$

Сложим два уравнения этой системы:

$(a - b) + (a + b) = 1 + 3$

$2a = 4 \implies a = 2$

Теперь подставим найденное значение $a$ в любое из уравнений, например, во второе:

$2 + b = 3 \implies b = 1$

Полученные значения $a=2$ и $b=1$ положительны. Выполним обратную замену:

$a = 2^{x+y} = 2 \implies 2^{x+y} = 2^1 \implies x+y=1$

$b = 3^{x-y} = 1 \implies 3^{x-y} = 3^0 \implies x-y=0$

Теперь у нас есть простая система линейных уравнений для $x$ и $y$:

$$\begin{cases}x+y = 1 \\x-y = 0\end{cases}$$

Из второго уравнения следует, что $x=y$. Подставим это в первое уравнение:

$x + x = 1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$

Так как $x=y$, то $y = \frac{1}{2}$.

Таким образом, решение системы - это пара чисел $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.