Номер 59.6, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.6, страница 230.

59.6 a) $ \begin{cases} 2x + 3y = 12, \\ \log_{6}^{2} xy + 1 = 2 \log_{6} xy; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 10 - 3 \sqrt[4]{xy}, \\ 2x - 5y = 6. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x + 3y = 12, \\ \log_6^2(xy) + 1 = 2\log_6(xy) \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения определяется условием $xy > 0$.

Рассмотрим второе уравнение. Сделаем замену $t = \log_6(xy)$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 1 = 2t$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Это формула квадрата разности:

$(t-1)^2 = 0$

Следовательно, $t = 1$.

Выполним обратную замену:

$\log_6(xy) = 1$

Из определения логарифма следует:

$xy = 6^1 = 6$

Теперь исходная система эквивалентна следующей системе:

$\begin{cases} 2x + 3y = 12, \\ xy = 6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = \frac{6}{x}$ (поскольку $xy=6$, то $x \neq 0$).

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x + 3 \left(\frac{6}{x}\right) = 12$

$2x + \frac{18}{x} = 12$

Умножим обе части уравнения на $x$:

$2x^2 + 18 = 12x$

Перенесем все в левую часть и разделим на 2:

$2x^2 - 12x + 18 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x-3)^2 = 0$

Отсюда находим $x = 3$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{6}{x} = \frac{6}{3} = 2$

Получили решение $(3; 2)$. Проверим, удовлетворяет ли оно ОДЗ: $xy = 3 \cdot 2 = 6 > 0$. Условие выполнено.

Подставим найденные значения в исходные уравнения для проверки:

1) $2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12$ (верно).

2) $\log_6^2(3 \cdot 2) + 1 = \log_6^2(6) + 1 = 1^2 + 1 = 2$. $2\log_6(3 \cdot 2) = 2\log_6(6) = 2 \cdot 1 = 2$. Равенство $2=2$ верно.

Ответ: $(3; 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 10 - 3\sqrt[4]{xy}, \\ 2x - 5y = 6 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Преобразуем первое уравнение. Так как $x \ge 0$ и $y \ge 0$, то $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$.

$\sqrt{xy} = 10 - 3\sqrt[4]{xy}$

Сделаем замену $u = \sqrt[4]{xy}$. Тогда $\sqrt{xy} = (\sqrt[4]{xy})^2 = u^2$. Из ОДЗ следует, что $u \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$u^2 = 10 - 3u$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$u^2 + 3u - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $u_1 = 2$ и $u_2 = -5$.

Поскольку $u = \sqrt[4]{xy} \ge 0$, корень $u_2 = -5$ является посторонним.

Таким образом, $u = 2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[4]{xy} = 2$

Возведем обе части в четвертую степень:

$xy = 2^4 = 16$

Теперь исходная система эквивалентна следующей системе:

$\begin{cases} xy = 16, \\ 2x - 5y = 6 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = \frac{16}{x}$ (поскольку $xy=16$, то $x \neq 0$).

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2x - 5 \left(\frac{16}{x}\right) = 6$

$2x - \frac{80}{x} = 6$

Умножим обе части уравнения на $x$:

$2x^2 - 80 = 6x$

Перенесем все в левую часть и разделим на 2:

$2x^2 - 6x - 80 = 0$

$x^2 - 3x - 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 13}{2}$

Находим два корня:

$x_1 = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Согласно ОДЗ ($x \ge 0$), корень $x_2 = -5$ является посторонним.

Единственное возможное значение для $x$ - это $8$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{16}{x} = \frac{16}{8} = 2$

Получили решение $(8; 2)$. Проверим, удовлетворяет ли оно ОДЗ: $x=8 \ge 0$ и $y=2 \ge 0$. Условия выполнены.

Подставим найденные значения в исходные уравнения для проверки:

1) $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4$. $10 - 3\sqrt[4]{8 \cdot 2} = 10 - 3\sqrt[4]{16} = 10 - 3 \cdot 2 = 10 - 6 = 4$. Равенство $4=4$ верно.

2) $2(8) - 5(2) = 16 - 10 = 6$ (верно).

Ответ: $(8; 2)$.