Номер 59.1, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. §59. Системы уравнений - номер 59.1, страница 229.

Условие.

Решите систему уравнений методом подстановки:

59.1 a)

$\begin{cases} x + y = 3, \\ x^2 + 2y^2 - xy + 2x - 3y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^3 + y^3 = 35; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sqrt{7 - 6x - y^2} = y + 5, \\ y = x - 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + 2y = 1, \\ 2x^2 + 3xy - 3y^2 = 6. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + 2y^2 - xy + 2x - 3y = 3 \end{cases}$

Для решения системы методом подстановки выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Выразим y через x:
$y = 3 - x$

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение системы:

$x^2 + 2(3 - x)^2 - x(3 - x) + 2x - 3(3 - x) = 3$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$x^2 + 2(9 - 6x + x^2) - 3x + x^2 + 2x - 9 + 3x = 3$

$x^2 + 18 - 12x + 2x^2 - 3x + x^2 + 2x - 9 + 3x = 3$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x^2 + x^2) + (-12x - 3x + 2x + 3x) + (18 - 9) = 3$

$4x^2 - 10x + 9 = 3$

$4x^2 - 10x + 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$2x^2 - 5x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Теперь найдем соответствующие значения y, используя формулу $y = 3 - x$:

Если $x_1 = \frac{3}{2}$, то $y_1 = 3 - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 3 - 1 = 2$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; 2)$, $(\frac{3}{2}; \frac{3}{2})$.

б)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 5 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим y через x:

$y = 5 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^3 + (5 - x)^3 = 35$

Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ для раскрытия скобок:

$x^3 + (5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x^2 - x^3) = 35$

$x^3 + 125 - 75x + 15x^2 - x^3 = 35$

Упростим уравнение, сократив $x^3$ и $-x^3$:

$15x^2 - 75x + 125 = 35$

$15x^2 - 75x + 90 = 0$

Разделим все члены уравнения на 15:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = 3$

Найдем соответствующие значения y по формуле $y = 5 - x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$.

Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 5 - 3 = 2$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$.

в)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{7 - 6x - y^2} = y + 5 \\ y = x - 1 \end{cases}$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$\sqrt{7 - 6x - (x - 1)^2} = (x - 1) + 5$

Упростим уравнение:

$\sqrt{7 - 6x - (x^2 - 2x + 1)} = x + 4$

$\sqrt{7 - 6x - x^2 + 2x - 1} = x + 4$

$\sqrt{6 - 4x - x^2} = x + 4$

Для существования решения должно выполняться условие $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикала:

$6 - 4x - x^2 = (x + 4)^2$

$6 - 4x - x^2 = x^2 + 8x + 16$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$2x^2 + 12x + 10 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + 6x + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge -4$:

$x_1 = -1$ удовлетворяет условию ($-1 \ge -4$).

$x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < -4$), поэтому это посторонний корень.

Найдем значение y для единственного подходящего корня $x = -1$:

$y = x - 1 = -1 - 1 = -2$.

Полученное решение $(-1; -2)$ является единственным.

Ответ: $(-1; -2)$.

г)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x^2 + 3xy - 3y^2 = 6 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим x через y:

$x = 1 - 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(1 - 2y)^2 + 3(1 - 2y)y - 3y^2 = 6$

Раскроем скобки и упростим:

$2(1 - 4y + 4y^2) + (3y - 6y^2) - 3y^2 = 6$

$2 - 8y + 8y^2 + 3y - 6y^2 - 3y^2 = 6$

Приведем подобные слагаемые:

$(8y^2 - 6y^2 - 3y^2) + (-8y + 3y) + 2 = 6$

$-y^2 - 5y + 2 = 6$

$-y^2 - 5y - 4 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$y^2 + 5y + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = -1$ и $y_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения x, используя $x = 1 - 2y$:

Если $y_1 = -1$, то $x_1 = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 1 - 2(-4) = 1 + 8 = 9$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(3; -1)$, $(9; -4)$.