Номер 58.18, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. §58. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 58.18, страница 228.

Условие.

58.18 a) $|x + y| + 2x - y \ge 3;$

б) $\frac{|x + y|}{x + y} x + |x + y| + y \le 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

a) Для решения неравенства $|x+y| + |2x-y| \ge 3$ необходимо раскрыть модули. Знаки выражений под модулями меняются на прямых $x+y=0$ (то есть $y=-x$) и $2x-y=0$ (то есть $y=2x$). Эти прямые делят координатную плоскость на четыре области. Рассмотрим каждую из них.

1. Область, где $x+y \ge 0$ и $2x-y \ge 0$. Это соответствует условиям $y \ge -x$ и $y \le 2x$.
В этой области неравенство принимает вид: $(x+y) + (2x-y) \ge 3$.
Упрощая, получаем $3x \ge 3$, то есть $x \ge 1$.
Таким образом, в этой области решением является множество точек, удовлетворяющих системе $\begin{cases} y \ge -x \\ y \le 2x \\ x \ge 1 \end{cases}$.

2. Область, где $x+y \ge 0$ и $2x-y < 0$. Это соответствует условиям $y \ge -x$ и $y > 2x$.
В этой области неравенство принимает вид: $(x+y) - (2x-y) \ge 3$.
Упрощая, получаем $-x+2y \ge 3$, то есть $y \ge \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.
Решением является множество точек, удовлетворяющих системе $\begin{cases} y \ge -x \\ y > 2x \\ y \ge \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \end{cases}$.

3. Область, где $x+y < 0$ и $2x-y < 0$. Это соответствует условиям $y < -x$ и $y > 2x$.
В этой области неравенство принимает вид: $-(x+y) - (2x-y) \ge 3$.
Упрощая, получаем $-3x \ge 3$, то есть $x \le -1$.
Решением является множество точек, удовлетворяющих системе $\begin{cases} y < -x \\ y > 2x \\ x \le -1 \end{cases}$.

4. Область, где $x+y < 0$ и $2x-y \ge 0$. Это соответствует условиям $y < -x$ и $y \le 2x$.
В этой области неравенство принимает вид: $-(x+y) + (2x-y) \ge 3$.
Упрощая, получаем $x-2y \ge 3$, то есть $y \le \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.
Решением является множество точек, удовлетворяющих системе $\begin{cases} y < -x \\ y \le 2x \\ y \le \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \end{cases}$.

Объединение этих четырех множеств является решением исходного неравенства. Граница области решений задается уравнением $|x+y| + |2x-y| = 3$. Эта граница представляет собой параллелограмм. Найдем его вершины путем пересечения граничных прямых из полученных систем: $x=1$, $y=\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$, $x=-1$ и $y=\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.
Вершины параллелограмма: A(1, 2), B(-1, 1), C(-1, -2), D(1, -1).
Поскольку исходное неравенство нестрогое ($\ge$), решением является область, включающая границу этого параллелограмма и всю плоскость вне его.

Ответ: Множество решений представляет собой все точки координатной плоскости, которые лежат на сторонах или вне параллелограмма с вершинами в точках (1, 2), (-1, 1), (-1, -2) и (1, -1).

б) Рассмотрим неравенство $\frac{|x+y|}{x+y}x + |x+y| + y \le 4$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется знаменателем дроби, то есть $x+y \neq 0$. Это означает, что прямая $y=-x$ не является частью множества решений.
Выражение $\frac{|x+y|}{x+y}$ является знаковой функцией от $x+y$. Оно равно 1 при $x+y>0$ и -1 при $x+y<0$. Рассмотрим эти два случая.

1. Случай $x+y > 0$ (полуплоскость выше прямой $y=-x$).
В этом случае $|x+y|=x+y$ и $\frac{|x+y|}{x+y}=1$. Неравенство преобразуется к виду:
$1 \cdot x + (x+y) + y \le 4$
$2x + 2y \le 4$
$x+y \le 2$
Совмещая с условием $x+y > 0$, получаем для этого случая решение $0 < x+y \le 2$. Геометрически это полоса между прямыми $y=-x$ и $y=-x+2$, причем прямая $y=-x+2$ входит в решение, а прямая $y=-x$ — нет.

2. Случай $x+y < 0$ (полуплоскость ниже прямой $y=-x$).
В этом случае $|x+y|=-(x+y)$ и $\frac{|x+y|}{x+y}=-1$. Неравенство преобразуется к виду:
$(-1) \cdot x - (x+y) + y \le 4$
$-x - x - y + y \le 4$
$-2x \le 4$
$x \ge -2$
Решением в этом случае является пересечение двух условий: $x+y < 0$ и $x \ge -2$. Геометрически это область, расположенная одновременно справа от вертикальной прямой $x=-2$ (включая саму прямую) и ниже прямой $y=-x$ (не включая ее).

Итоговое множество решений является объединением множеств, полученных в обоих случаях.

Ответ: Множество решений является объединением двух областей:
1) полосы, определяемой двойным неравенством $0 < x+y \le 2$;
2) области, определяемой системой неравенств $\begin{cases} x+y < 0 \\ x \ge -2 \end{cases}$.