Номер 58.14, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.14, страница 228.

Постройте множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

58.14 a) $x \le 5$;

б) $x > -4$;

в) $y \ge -3$;

г) $y < 2.

а) Чтобы построить множество точек, удовлетворяющих неравенству $x \le 5$, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Построить граничную прямую. Граничным уравнением для данного неравенства является $x = 5$. Это уравнение задает вертикальную прямую, которая проходит через точку $(5, 0)$ на оси абсцисс и параллельна оси ординат ($Oy$). Каждая точка на этой прямой имеет координату $x$, равную 5.
2. Определить тип линии. Знак неравенства "меньше или равно" ($ \le $) является нестрогим. Это означает, что точки, лежащие на самой прямой $x = 5$, также удовлетворяют неравенству и являются частью решения. Поэтому граничная прямая изображается сплошной линией.
3. Определить область решения. Неравенство $x \le 5$ требует, чтобы абсцисса (координата $x$) любой точки из искомого множества была меньше или равна 5. Этому условию удовлетворяют все точки, расположенные на прямой $x = 5$ и все точки, находящиеся слева от этой прямой.
Таким образом, искомое множество точек — это полуплоскость, расположенная слева от прямой $x = 5$, включая саму прямую.
Ответ: Замкнутая полуплоскость, ограниченная вертикальной прямой $x=5$ и расположенная слева от нее, включая саму прямую.

б) Для построения множества точек, удовлетворяющих неравенству $x > -4$, действуем аналогично:
1. Построить граничную прямую. Граничное уравнение — $x = -4$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку $(-4, 0)$ на оси абсцисс и параллельная оси ординат.
2. Определить тип линии. Знак неравенства "больше" ($ > $) является строгим. Это значит, что точки, лежащие на прямой $x = -4$, не входят в множество решений. Поэтому граничная прямая изображается пунктирной (штриховой) линией.
3. Определить область решения. Неравенство $x > -4$ означает, что абсцисса точек должна быть строго больше -4. Этому условию удовлетворяют все точки, расположенные справа от прямой $x = -4$.
Искомое множество — это открытая полуплоскость справа от прямой $x = -4$.
Ответ: Открытая полуплоскость, расположенная справа от вертикальной прямой $x=-4$. Сама прямая в множество не входит.

в) Для построения множества точек, удовлетворяющих неравенству $y \ge -3$:
1. Построить граничную прямую. Граничное уравнение — $y = -3$. Это горизонтальная прямая, которая проходит через точку $(0, -3)$ на оси ординат и параллельна оси абсцисс ($Ox$). Каждая точка на этой прямой имеет координату $y$, равную -3.
2. Определить тип линии. Знак неравенства "больше или равно" ($ \ge $) — нестрогий. Следовательно, точки на прямой $y = -3$ являются частью решения, и прямая изображается сплошной линией.
3. Определить область решения. Неравенство $y \ge -3$ требует, чтобы ордината (координата $y$) любой точки из множества была больше или равна -3. Этому условию удовлетворяют все точки, лежащие на прямой $y = -3$ и все точки, расположенные выше этой прямой.
Искомое множество — это полуплоскость над прямой $y = -3$, включая саму прямую.
Ответ: Замкнутая полуплоскость, ограниченная горизонтальной прямой $y=-3$ и расположенная выше нее, включая саму прямую.

г) Для построения множества точек, удовлетворяющих неравенству $y < 2$:
1. Построить граничную прямую. Граничное уравнение — $y = 2$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 2)$ на оси ординат и параллельная оси абсцисс.
2. Определить тип линии. Знак неравенства "меньше" ($ < $) — строгий. Это означает, что точки на самой прямой $y = 2$ не входят в решение. Прямая изображается пунктирной линией.
3. Определить область решения. Неравенство $y < 2$ означает, что ордината точек должна быть строго меньше 2. Этому условию удовлетворяют все точки координатной плоскости, расположенные ниже прямой $y = 2$.
Искомое множество — это открытая полуплоскость под прямой $y = 2$.
Ответ: Открытая полуплоскость, расположенная ниже горизонтальной прямой $y=2$. Сама прямая в множество не входит.