Номер 58.16, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.16, страница 228.

58.16 Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

a) $\begin{cases} x + y \ge 3, \\ 2x - 3y \le 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y \ge 1, \\ x + y \le 1, \\ x \le 2y; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - 2y \ge 3, \\ x + 3y \le -2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - y \ge 2x, \\ x + y \le 3y, \\ 5x \le 2y - 7. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x+y \ge 3 \\ 2x-3y \le 1 \end{cases} $

Решением системы является пересечение полуплоскостей, задаваемых каждым из неравенств.

1. Первое неравенство $x + y \ge 3$ можно переписать как $y \ge -x + 3$. Граничной линией является прямая $y = -x + 3$. Она проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$. Решением неравенства является полуплоскость, лежащая на этой прямой и выше нее.

2. Второе неравенство $2x - 3y \le 1$ можно переписать как $3y \ge 2x - 1$, или $y \ge \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$. Граничной линией является прямая $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$. Она проходит через точки $(2, 1)$ и $(-1, -1)$. Решением неравенства является полуплоскость, лежащая на этой прямой и выше нее.

Чтобы найти искомое множество, нужно найти пересечение этих двух полуплоскостей. Это будет бесконечная область (угол), вершина которого находится в точке пересечения граничных прямых.

Найдем точку пересечения:

$ \begin{cases} y = -x + 3 \\ y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \end{cases} $

$-x + 3 = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$

$-3x + 9 = 2x - 1$

$5x = 10 \implies x = 2$

Подставив $x=2$ в первое уравнение, получим $y = -2 + 3 = 1$.

Вершина угла находится в точке $(2, 1)$.

Ответ: Искомое множество точек — это угол, включая его границы. Вершина угла находится в точке $(2, 1)$, а его стороны лежат на лучах прямых $y = -x + 3$ и $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$, исходящих из этой точки и направленных в область, где $y$ принимает большие значения.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - y \ge 1 \\ x + y \le 1 \\ x \le 2y \end{cases} $

Перепишем неравенства, выразив $y$:

$ \begin{cases} y \le x - 1 \\ y \le -x + 1 \\ y \ge \frac{1}{2}x \end{cases} $

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись все три неравенства одновременно. Из третьего неравенства следует, что $y$ должен быть не меньше $\frac{1}{2}x$. Из первых двух следует, что $y$ должен быть не больше чем $x-1$ и не больше чем $-x+1$.

Следовательно, для существования решения необходимо, чтобы выполнялась система неравенств для $x$:

$ \begin{cases} \frac{1}{2}x \le x - 1 \\ \frac{1}{2}x \le -x + 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$\frac{1}{2}x \le x - 1 \implies 1 \le x - \frac{1}{2}x \implies 1 \le \frac{1}{2}x \implies x \ge 2$.

Решим второе неравенство:

$\frac{1}{2}x \le -x + 1 \implies \frac{1}{2}x + x \le 1 \implies \frac{3}{2}x \le 1 \implies x \le \frac{2}{3}$.

Таким образом, для существования решения необходимо, чтобы одновременно выполнялись условия $x \ge 2$ и $x \le \frac{2}{3}$. Нет таких значений $x$, которые удовлетворяли бы обоим условиям, так как $[2, +\infty) \cap (-\infty, \frac{2}{3}] = \emptyset$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данной системе неравенств, является пустым множеством.

в)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - 2y \ge 3 \\ x + 3y \le -2 \end{cases} $

Выразим $y$ в каждом неравенстве:

1. $x - 2y \ge 3 \implies -2y \ge -x + 3 \implies y \le \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$. Граничная прямая $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$. Решением является полуплоскость, лежащая на прямой и ниже нее.

2. $x + 3y \le -2 \implies 3y \le -x - 2 \implies y \le -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$. Граничная прямая $y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$. Решением является полуплоскость, лежащая на прямой и ниже нее.

Найдем точку пересечения граничных прямых:

$\frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$

Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей:

$3x - 9 = -2x - 4$

$5x = 5 \implies x = 1$

Подставим $x=1$ в любое из уравнений: $y = \frac{1}{2}(1) - \frac{3}{2} = \frac{1-3}{2} = -1$.

Точка пересечения (вершина угла) — $(1, -1)$.

Решением системы является пересечение двух полуплоскостей, то есть область, лежащая ниже обеих прямых.

Ответ: Искомое множество точек — это угол, включая его границы. Вершина угла находится в точке $(1, -1)$, а его стороны лежат на лучах прямых $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ и $y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$, исходящих из этой точки и направленных в область, где $y$ принимает меньшие значения.

г)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - y \ge 2x \\ x + y \le 3y \\ 5x \le 2y - 7 \end{cases} $

Упростим каждое неравенство, выразив $y$:

$ \begin{cases} -y \ge x \implies y \le -x \\ x \le 2y \implies y \ge \frac{1}{2}x \\ 2y \ge 5x + 7 \implies y \ge \frac{5}{2}x + \frac{7}{2} \end{cases} $

Решением является множество точек $(x, y)$, которые лежат одновременно ниже (или на) прямой $y=-x$ и выше (или на) обеих прямых $y=\frac{1}{2}x$ и $y=\frac{5}{2}x + \frac{7}{2}$.

Найдем точки пересечения граничных прямых, которые будут являться вершинами искомой области.

1. Пересечение $y = -x$ и $y = \frac{5}{2}x + \frac{7}{2}$:

$-x = \frac{5}{2}x + \frac{7}{2} \implies -2x = 5x + 7 \implies -7x = 7 \implies x = -1$. Тогда $y = -(-1) = 1$. Вершина A: $(-1, 1)$.

2. Пересечение $y = \frac{1}{2}x$ и $y = \frac{5}{2}x + \frac{7}{2}$:

$\frac{1}{2}x = \frac{5}{2}x + \frac{7}{2} \implies x = 5x + 7 \implies -4x = 7 \implies x = -\frac{7}{4}$. Тогда $y = \frac{1}{2}(-\frac{7}{4}) = -\frac{7}{8}$. Вершина B: $(-\frac{7}{4}, -\frac{7}{8})$.

Точка пересечения прямых $y = -x$ и $y = \frac{1}{2}x$ — это $(0, 0)$, но она не удовлетворяет третьему неравенству ($0 \ge \frac{7}{2}$ — неверно), поэтому не является вершиной искомой области.

Множество решений — это неограниченная область, ограниченная сверху лучом прямой $y=-x$, исходящим из точки A влево, и снизу — ломаной, состоящей из отрезка AB и луча прямой $y=\frac{1}{2}x$, исходящего из точки B влево.

Ответ: Искомое множество точек — это неограниченная выпуклая область на плоскости, включающая свою границу. Граница состоит из двух лучей и отрезка между ними. Первый луч исходит из точки $A(-1, 1)$ и идет влево вдоль прямой $y=-x$. Второй луч исходит из точки $B(-\frac{7}{4}, -\frac{7}{8})$ и идет влево вдоль прямой $y=\frac{1}{2}x$. Эти лучи соединены отрезком прямой $y = \frac{5}{2}x + \frac{7}{2}$ с концами в точках A и B.