Номер 58.9, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.9, страница 227.

58.9 a) $ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16; $

б) $ (x - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16; $

в) $ (|x| - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16; $

г) $ (|x| - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16. $

а) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Данное уравнение является каноническим уравнением окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Сравнивая с общей формулой, находим параметры окружности:

• Центр окружности находится в точке $(x_0, y_0) = (1, 2)$.
• Квадрат радиуса $R^2 = 16$, следовательно, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $4$.

б) $(x - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16$

Уравнение содержит $|y|$, что означает симметрию графика относительно оси Ox. Если точка $(x, y)$ удовлетворяет уравнению, то и точка $(x, -y)$ тоже ему удовлетворяет, так как $|y| = |-y|$.

Для построения графика можно рассмотреть два случая:

1. Если $y \geq 0$, то $|y| = y$. Уравнение принимает вид $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$. Это часть окружности с центром в $(1, 2)$ и радиусом $4$, расположенная в верхней полуплоскости ($y \geq 0$).

2. Если $y < 0$, то $|y| = -y$. Уравнение принимает вид $(x - 1)^2 + (-y - 2)^2 = 16$, что эквивалентно $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$. Это часть окружности с центром в $(1, -2)$ и радиусом $4$, расположенная в нижней полуплоскости ($y < 0$).

Искомая фигура является объединением этих двух дуг окружностей.

Ответ: Фигура, состоящая из двух дуг окружностей: части окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$ при $y \geq 0$ и части окружности $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$ при $y < 0$.

в) $(|x| - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Уравнение содержит $|x|$, что означает симметрию графика относительно оси Oy. Если точка $(x, y)$ удовлетворяет уравнению, то и точка $(-x, y)$ тоже ему удовлетворяет, так как $|x| = |-x|$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \geq 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$. Это часть окружности с центром в $(1, 2)$ и радиусом $4$, расположенная в правой полуплоскости ($x \geq 0$).

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $(-x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$, что эквивалентно $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$. Это часть окружности с центром в $(-1, 2)$ и радиусом $4$, расположенная в левой полуплоскости ($x < 0$).

Искомая фигура является объединением этих двух дуг окружностей.

Ответ: Фигура, состоящая из двух дуг окружностей: части окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$ при $x \geq 0$ и части окружности $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$ при $x < 0$.

г) $(|x| - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16$

Уравнение содержит $|x|$ и $|y|$, что означает симметрию графика относительно обеих осей координат (Ox и Oy), а также относительно начала координат.

Для построения графика рассмотрим четыре случая, по одному для каждой координатной четверти:

1. Первая четверть ($x \geq 0, y \geq 0$): $|x| = x, |y| = y$. Уравнение: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$. Это дуга окружности с центром в $(1, 2)$ и радиусом $4$.

2. Вторая четверть ($x < 0, y \geq 0$): $|x| = -x, |y| = y$. Уравнение: $(-x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$, или $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$. Это дуга окружности с центром в $(-1, 2)$ и радиусом $4$.

3. Третья четверть ($x < 0, y < 0$): $|x| = -x, |y| = -y$. Уравнение: $(-x - 1)^2 + (-y - 2)^2 = 16$, или $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$. Это дуга окружности с центром в $(-1, -2)$ и радиусом $4$.

4. Четвертая четверть ($x \geq 0, y < 0$): $|x| = x, |y| = -y$. Уравнение: $(x - 1)^2 + (-y - 2)^2 = 16$, или $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$. Это дуга окружности с центром в $(1, -2)$ и радиусом $4$.

Итоговая фигура является объединением этих четырех дуг.

Ответ: Фигура, состоящая из четырех дуг окружностей. В первой четверти это дуга окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$; во второй — дуга окружности $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$; в третьей — дуга окружности $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$; в четвертой — дуга окружности $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$. Все окружности имеют радиус $4$.