Номер 58.4, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.4, страница 227.

58.4 a) $x^2 - y^2 = 0;$

б) $x^2 + 7xy - 18y^2 = 0;$

В) $x^2 + 2xy + y^2 = 0;$

Г) $x^2 - 3xy + 2y^2 = 0.$

а)

Дано уравнение $x^2 - y^2 = 0$.
Левая часть уравнения представляет собой формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Разложим выражение на множители:

$(x - y)(x + y) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям:

1. $x - y = 0$, откуда следует, что $x = y$.
2. $x + y = 0$, откуда следует, что $x = -y$.

Ответ: $x = y$ или $x = -y$.

б)

Дано уравнение $x^2 + 7xy - 18y^2 = 0$.
Это однородное уравнение второй степени. Решим его как квадратное уравнение относительно переменной $x$.

В этом уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=7y$, $c=-18y^2$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (7y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18y^2) = 49y^2 + 72y^2 = 121y^2 = (11y)^2$.

Теперь найдем корни для $x$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-7y \pm \sqrt{(11y)^2}}{2} = \frac{-7y \pm 11y}{2}$.

Это дает нам два решения:
1. $x_1 = \frac{-7y + 11y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$.
2. $x_2 = \frac{-7y - 11y}{2} = \frac{-18y}{2} = -9y$.

Ответ: $x = 2y$ или $x = -9y$.

в)

Дано уравнение $x^2 + 2xy + y^2 = 0$.
Левая часть уравнения является формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Свернем выражение в полный квадрат:
$(x + y)^2 = 0$.

Квадрат выражения равен нулю только в том случае, если само выражение равно нулю:
$x + y = 0$.

Отсюда получаем решение: $x = -y$.

Ответ: $x = -y$.

г)

Дано уравнение $x^2 - 3xy + 2y^2 = 0$.
Это также однородное уравнение второй степени. Решим его как квадратное уравнение относительно $x$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-3y$, $c=2y^2$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2y^2) = 9y^2 - 8y^2 = y^2$.

Найдем корни для $x$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(-3y) \pm \sqrt{y^2}}{2} = \frac{3y \pm y}{2}$.

Это дает нам два решения:
1. $x_1 = \frac{3y + y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$.
2. $x_2 = \frac{3y - y}{2} = \frac{2y}{2} = y$.

Ответ: $x = y$ или $x = 2y$.