Номер 57.32, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.32, страница 226.

57.32 а) $\sqrt{\sin x - 1} \le 4 - x^2$;

б) $\sqrt{\cos x - 1} \ge x^2 - 49.$

а) $\sqrt{\sin x - 1} \le 4 - x^2$

1. Найдем область определения левой части неравенства. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\sin x - 1 \ge 0$
$\sin x \ge 1$
Поскольку максимальное значение функции синус равно 1, это неравенство превращается в равенство:
$\sin x = 1$
Это равенство выполняется только при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. При этих значениях $x$ левая часть исходного неравенства равна:
$\sqrt{\sin x - 1} = \sqrt{1 - 1} = 0$.

3. Подставим это значение в исходное неравенство:
$0 \le 4 - x^2$
$x^2 \le 4$
Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-2, 2]$.

4. Теперь нам нужно найти такие целые значения $k$, при которых решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ попадают в отрезок $[-2, 2]$.
Проверим значения $k$:
- При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $x \approx 1.57$. Это значение принадлежит отрезку $[-2, 2]$.
- При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Это значение не принадлежит отрезку $[-2, 2]$.
- При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$. Это значение не принадлежит отрезку $[-2, 2]$.
Для других целых значений $k$ решения также не будут попадать в нужный отрезок.

Таким образом, единственным решением исходного неравенства является $x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

б) $\sqrt{\cos x - 1} \ge x^2 - 49$

1. Найдем область определения левой части неравенства. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\cos x - 1 \ge 0$
$\cos x \ge 1$
Поскольку максимальное значение функции косинус равно 1, это неравенство превращается в равенство:
$\cos x = 1$
Это равенство выполняется только при $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. При этих значениях $x$ левая часть исходного неравенства равна:
$\sqrt{\cos x - 1} = \sqrt{1 - 1} = 0$.

3. Подставим это значение в исходное неравенство:
$0 \ge x^2 - 49$
$x^2 \le 49$
Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-7, 7]$.

4. Теперь нам нужно найти такие целые значения $n$, при которых решения $x = 2\pi n$ попадают в отрезок $[-7, 7]$.
Проверим значения $n$:
- При $n = 0$, $x = 0$. Это значение принадлежит отрезку $[-7, 7]$.
- При $n = 1$, $x = 2\pi$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $x \approx 6.28$. Это значение принадлежит отрезку $[-7, 7]$.
- При $n = -1$, $x = -2\pi \approx -6.28$. Это значение принадлежит отрезку $[-7, 7]$.
- При $n = 2$, $x = 4\pi \approx 12.56$. Это значение не принадлежит отрезку $[-7, 7]$.
- При $n = -2$, $x = -4\pi \approx -12.56$. Это значение не принадлежит отрезку $[-7, 7]$.
Для других целых значений $n$ с $|n| \ge 2$ решения также не будут попадать в нужный отрезок.

Таким образом, решениями исходного неравенства являются $x = -2\pi$, $x = 0$ и $x = 2\pi$.

Ответ: $\{-2\pi, 0, 2\pi\}$.