Номер 57.26, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.26, страница 226.

Решите неравенство:

57.26 а) $9^{x+2} + 4 \cdot 3^{2x+2} \ge 4\frac{1}{3}$;

б) $8^{x-2} + 3 \cdot 2^{3x-2} \le 24\frac{1}{2}$.

a) $9^{x+2} + 4 \cdot 3^{2x+2} \geq 4\frac{1}{3}$

Первым шагом приведем все степени в левой части неравенства к одному основанию 3. Известно, что $9 = 3^2$.

$9^{x+2} = (3^2)^{x+2} = 3^{2(x+2)} = 3^{2x+4}$

Также преобразуем смешанную дробь в правой части в неправильную:

$4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в неравенство:

$3^{2x+4} + 4 \cdot 3^{2x+2} \geq \frac{13}{3}$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы вынести общий множитель. Представим $3^{2x+4}$ как $3^{2x+2} \cdot 3^2$:

$3^{2x+2} \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^{2x+2} \geq \frac{13}{3}$

$9 \cdot 3^{2x+2} + 4 \cdot 3^{2x+2} \geq \frac{13}{3}$

Вынесем общий множитель $3^{2x+2}$ за скобки:

$(9+4) \cdot 3^{2x+2} \geq \frac{13}{3}$

$13 \cdot 3^{2x+2} \geq \frac{13}{3}$

Разделим обе части неравенства на 13. Так как 13 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$3^{2x+2} \geq \frac{1}{3}$

Представим правую часть в виде степени с основанием 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$3^{2x+2} \geq 3^{-1}$

Так как основание степени $3 > 1$, то неравенство для показателей будет иметь тот же знак:

$2x+2 \geq -1$

$2x \geq -1 - 2$

$2x \geq -3$

$x \geq -\frac{3}{2}$

Таким образом, решение неравенства — это все значения $x$, большие или равные $-\frac{3}{2}$.

Ответ: $x \in [-\frac{3}{2}; +\infty)$.

б) $8^{x-2} + 3 \cdot 2^{3x-2} \leq 24\frac{1}{2}$

Приведем все степени в левой части к основанию 2. Известно, что $8 = 2^3$.

$8^{x-2} = (2^3)^{x-2} = 2^{3(x-2)} = 2^{3x-6}$

Преобразуем смешанную дробь в правой части в неправильную:

$24\frac{1}{2} = \frac{24 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{49}{2}$

Подставим преобразованные выражения в неравенство:

$2^{3x-6} + 3 \cdot 2^{3x-2} \leq \frac{49}{2}$

Чтобы вынести общий множитель, приведем степени к одному показателю. Представим $2^{3x-2}$ через $2^{3x-6}$:

$2^{3x-2} = 2^{(3x-6)+4} = 2^{3x-6} \cdot 2^4 = 16 \cdot 2^{3x-6}$

Подставим это выражение в неравенство:

$2^{3x-6} + 3 \cdot (16 \cdot 2^{3x-6}) \leq \frac{49}{2}$

Вынесем общий множитель $2^{3x-6}$ за скобки:

$(1 + 3 \cdot 16) \cdot 2^{3x-6} \leq \frac{49}{2}$

$(1 + 48) \cdot 2^{3x-6} \leq \frac{49}{2}$

$49 \cdot 2^{3x-6} \leq \frac{49}{2}$

Разделим обе части на 49 (положительное число, знак неравенства не меняется):

$2^{3x-6} \leq \frac{1}{2}$

Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$2^{3x-6} \leq 2^{-1}$

Так как основание степени $2 > 1$, то неравенство для показателей будет иметь тот же знак:

$3x-6 \leq -1$

$3x \leq -1 + 6$

$3x \leq 5$

$x \leq \frac{5}{3}$

Следовательно, решение неравенства — это все значения $x$, меньшие или равные $\frac{5}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{3}]$.