Номер 57.24, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.24, страница 225.

57.24 a) $log_2 x < 6 - x$;

б) $log_3 x \ge x^3$;

В) $log_2 x \ge 6 - x$;

Г) $log_3 x < x^3$.

a) $\log_2 x < 6 - x$

Данное неравенство является трансцендентным, и его следует решать графическим или функционально-графическим методом. Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = 6 - x$. Нам нужно найти интервалы, на которых график функции $f(x)$ находится ниже графика функции $g(x)$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Логарифмическая функция определена только для положительных аргументов, поэтому ОДЗ неравенства: $x > 0$.

2. Анализ функций. Функция $f(x) = \log_2 x$ является возрастающей на всей своей области определения, так как основание логарифма $2 > 1$. Функция $g(x) = 6 - x$ является убывающей на всей числовой прямой, так как это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом $-1$.

3. Нахождение точки пересечения. Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$: $\log_2 x = 6 - x$ Подбором можно найти корень. Проверим целые значения $x$, являющиеся степенями двойки: При $x=4$, левая часть: $\log_2 4 = 2$. Правая часть: $6 - 4 = 2$. Поскольку $2 = 2$, $x=4$ является единственным корнем уравнения. Это точка пересечения графиков.

4. Решение неравенства. Нам нужно решить неравенство $\log_2 x < 6 - x$. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x > 4$ будет выполняться $f(x) > f(4)$ и $g(x) < g(4)$, то есть $\log_2 x > 6 - x$. При $x < 4$ (и с учетом ОДЗ $x > 0$) будет выполняться $f(x) < f(4)$ и $g(x) > g(4)$, то есть $\log_2 x < 6 - x$. Следовательно, решение неравенства — это интервал $(0, 4)$.

Ответ: $x \in (0; 4)$.

б) $\log_3 x \ge x^3$

Рассмотрим функцию $h(x) = \log_3 x - x^3$. Неравенство можно переписать в виде $h(x) \ge 0$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Исследование функции на экстремумы. Найдем производную функции $h(x)$: $h'(x) = (\log_3 x - x^3)' = \frac{1}{x \ln 3} - 3x^2$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $\frac{1}{x \ln 3} - 3x^2 = 0 \implies 1 = 3x^3 \ln 3 \implies x^3 = \frac{1}{3 \ln 3}$. Пусть $x_0 = \sqrt[3]{\frac{1}{3 \ln 3}}$. При $0 < x < x_0$, $h'(x) > 0$, значит, функция $h(x)$ возрастает. При $x > x_0$, $h'(x) < 0$, значит, функция $h(x)$ убывает. Следовательно, в точке $x_0$ функция $h(x)$ достигает своего максимума.

3. Вычисление максимального значения. Максимальное значение функции равно $h(x_0) = \log_3(x_0) - x_0^3$. $x_0^3 = \frac{1}{3 \ln 3}$. $\log_3(x_0) = \frac{\ln(x_0)}{\ln 3} = \frac{\ln((\frac{1}{3 \ln 3})^{1/3})}{\ln 3} = \frac{\frac{1}{3}\ln(\frac{1}{3 \ln 3})}{\ln 3} = \frac{-\frac{1}{3}\ln(3 \ln 3)}{\ln 3} = -\frac{\ln(3 \ln 3)}{3 \ln 3}$. $h(x_0) = -\frac{\ln(3 \ln 3)}{3 \ln 3} - \frac{1}{3 \ln 3} = -\frac{\ln(3 \ln 3) + 1}{3 \ln 3}$. Поскольку $\ln 3 > \ln e = 1$, то $3 \ln 3 > 3$, и $\ln(3 \ln 3) > \ln 3 > 1$. Значит, числитель $\ln(3 \ln 3) + 1$ и знаменатель $3 \ln 3$ положительны. Таким образом, $h(x_0)$ является отрицательным числом.

4. Вывод. Максимальное значение функции $h(x)$ отрицательно. Это означает, что $h(x) < 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, неравенство $h(x) = \log_3 x - x^3 \ge 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

в) $\log_2 x \ge 6 - x$

Это неравенство тесно связано с неравенством из пункта а). Используем тот же метод и результаты.

1. Функции и ОДЗ. Рассматриваем функции $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = 6 - x$. ОДЗ: $x > 0$.

2. Анализ и точка пересечения. Как было установлено в пункте а), $f(x)$ — строго возрастающая функция, $g(x)$ — строго убывающая, и они пересекаются в единственной точке $x=4$.

3. Решение неравенства. Нам нужно найти, где $\log_2 x \ge 6 - x$, то есть $f(x) \ge g(x)$. В точке $x=4$ функции равны, значит, $x=4$ является решением. При $x > 4$, так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, выполняется $f(x) > f(4)$ и $g(x) < g(4)$, из чего следует, что $f(x) > g(x)$. При $0 < x < 4$ выполняется $f(x) < g(x)$. Объединяя результаты, получаем, что неравенство выполняется для всех $x \ge 4$.

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

г) $\log_3 x < x^3$

Это неравенство тесно связано с неравенством из пункта б).

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Анализ. Как было показано при решении пункта б), разность функций $h(x) = \log_3 x - x^3$ всегда отрицательна на всей области определения. $h(x) < 0$ для всех $x \in (0, +\infty)$. Переписывая это неравенство, получаем: $\log_3 x - x^3 < 0 \implies \log_3 x < x^3$.

3. Вывод. Неравенство $\log_3 x < x^3$ справедливо для всех $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.