Номер 57.28, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.28, страница 226.

57.28 a) $(x - 2)\log_{4}(x + 2) \ge 0;$

б) $(3 - x)\sqrt{\log_{3}(x + 5)} \le 0.$

а) $(x - 2)\log_4(x + 2) \ge 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x + 2 > 0 \implies x > -2$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2, +\infty)$.

2. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули каждого множителя в произведении:

Первый множитель: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.

Второй множитель: $\log_4(x + 2) = 0 \implies x + 2 = 4^0 \implies x + 2 = 1 \implies x = -1$.

3. Отметим на числовой прямой точки, соответствующие нулям множителей ($x = -1$ и $x = 2$) и границе ОДЗ ($x = -2$). Эти точки разбивают ОДЗ на три интервала: $(-2, -1)$, $(-1, 2)$ и $(2, +\infty)$.

Определим знаки произведения на каждом интервале:

• Интервал $(-2, -1)$: Возьмем пробную точку $x = -1.5$.
  $x - 2 = -1.5 - 2 = -3.5 < 0$
  $\log_4(x + 2) = \log_4(-1.5 + 2) = \log_4(0.5) < 0$ (так как основание $4 > 1$ и аргумент $0.5 < 1$).
  Произведение: $(-)\cdot(-) = (+)$. Интервал подходит.

• Интервал $(-1, 2)$: Возьмем пробную точку $x = 0$.
  $x - 2 = 0 - 2 = -2 < 0$
  $\log_4(x + 2) = \log_4(0 + 2) = \log_4(2) > 0$ (так как основание $4 > 1$ и аргумент $2 > 1$).
  Произведение: $(-)\cdot(+) = (-)$. Интервал не подходит.

• Интервал $(2, +\infty)$: Возьмем пробную точку $x = 14$.
  $x - 2 = 14 - 2 = 12 > 0$
  $\log_4(x + 2) = \log_4(14 + 2) = \log_4(16) = 2 > 0$.
  Произведение: $(+)\cdot(+) = (+)$. Интервал подходит.

4. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), в решение необходимо включить точки, в которых произведение равно нулю: $x = -1$ и $x = 2$. Обе точки входят в ОДЗ.

5. Объединяя полученные результаты, получаем решение:

$x \in (-2, -1] \cup [2, +\infty)$

Ответ: $x \in (-2, -1] \cup [2, +\infty)$.

б) $(3 - x)\sqrt{\log_3(x + 5)} \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — строго положительным.

$\begin{cases} \log_3(x + 5) \ge 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x + 5 \ge 3^0 \implies x + 5 \ge 1 \implies x \ge -4$.

Второе неравенство: $x > -5$.

Пересечение решений $x \ge -4$ и $x > -5$ дает ОДЗ: $x \in [-4, +\infty)$.

2. Проанализируем неравенство на ОДЗ. Множитель $\sqrt{\log_3(x + 5)}$ всегда неотрицателен (больше или равен нулю).

Рассмотрим два случая, когда произведение будет меньше или равно нулю:

Случай 1: Произведение равно нулю.

Это возможно, если один из множителей равен нулю.

$3 - x = 0 \implies x = 3$. Эта точка входит в ОДЗ.

$\sqrt{\log_3(x + 5)} = 0 \implies \log_3(x + 5) = 0 \implies x + 5 = 1 \implies x = -4$. Эта точка также входит в ОДЗ.

Таким образом, $x = 3$ и $x = -4$ являются решениями.

Случай 2: Произведение строго меньше нуля.

Так как $\sqrt{\log_3(x + 5)} > 0$ при $x > -4$, для выполнения неравенства $(3-x) \cdot (\text{положительное число}) < 0$ необходимо, чтобы множитель $(3 - x)$ был отрицательным:

$3 - x < 0 \implies x > 3$.

3. Объединим решения из обоих случаев.

Из случая 1 мы получили точки $x=-4$ и $x=3$.

Из случая 2 мы получили интервал $x > 3$, то есть $(3, +\infty)$.

Объединяя все вместе, получаем: $\{ -4 \} \cup \{ 3 \} \cup (3, +\infty)$, что можно записать как $\{ -4 \} \cup [3, +\infty)$.

Ответ: $x \in \{-4\} \cup [3, +\infty)$.