Номер 57.31, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.31, страница 226.

57.31 a) $(x^2 - 2x)(\operatorname{tg}^2 x + 2^{x+1}) \le 0;$

б) $(x^2 + 4x)(\operatorname{ctg}^2 x + 3^{x-1}) \le 0.$

а) Решим неравенство $(x^2 - 2x)(\operatorname{tg}^2 x + 2^{x+1}) \le 0$.

Данное неравенство представляет собой произведение двух множителей. Рассмотрим каждый из них.
Первый множитель: $x^2 - 2x = x(x-2)$.
Второй множитель: $\operatorname{tg}^2 x + 2^{x+1}$.

Проанализируем второй множитель. Выражение $\operatorname{tg}^2 x$ всегда неотрицательно, то есть $\operatorname{tg}^2 x \ge 0$. Показательная функция $2^{x+1}$ всегда строго положительна, то есть $2^{x+1} > 0$.
Следовательно, их сумма $\operatorname{tg}^2 x + 2^{x+1}$ всегда строго больше нуля для всех $x$ из области определения.

Так как второй множитель всегда положителен, то знак всего произведения зависит только от знака первого множителя. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:
$x^2 - 2x \le 0$

Решим это квадратное неравенство. Разложим на множители:
$x(x-2) \le 0$
Корнями уравнения $x(x-2)=0$ являются $x_1=0$ и $x_2=2$. Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями, включая их.
Получаем решение: $x \in [0, 2]$.

Теперь необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) исходного неравенства. Функция $\operatorname{tg} x$ определена, когда $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем, какие из этих "запрещенных" точек попадают в наш промежуток $[0, 2]$.
При $n=0$: $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Это значение принадлежит отрезку $[0, 2]$, значит, его нужно исключить.
При $n=1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, что не входит в отрезок $[0, 2]$.
При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, что также не входит в отрезок $[0, 2]$.

Таким образом, из отрезка $[0, 2]$ нужно исключить точку $x = \frac{\pi}{2}$.
Итоговое решение: $x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, 2]$.
Ответ: $x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, 2]$.

---

б) Решим неравенство $(x^2 + 4x)(\operatorname{ctg}^2 x + 3^{x-1}) \le 0$.

Это неравенство также является произведением двух множителей.
Первый множитель: $x^2 + 4x = x(x+4)$.
Второй множитель: $\operatorname{ctg}^2 x + 3^{x-1}$.

Рассмотрим второй множитель. Выражение $\operatorname{ctg}^2 x$ всегда неотрицательно: $\operatorname{ctg}^2 x \ge 0$. Показательная функция $3^{x-1}$ всегда строго положительна: $3^{x-1} > 0$.
Значит, их сумма $\operatorname{ctg}^2 x + 3^{x-1}$ всегда строго больше нуля для всех $x$ из области определения.

Поскольку второй множитель всегда положителен, знак произведения определяется знаком первого множителя. Исходное неравенство равносильно следующему:
$x^2 + 4x \le 0$

Решим это неравенство:
$x(x+4) \le 0$
Корнями уравнения $x(x+4)=0$ являются $x_1=0$ и $x_2=-4$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями.
Получаем решение: $x \in [-4, 0]$.

Теперь учтем область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\operatorname{ctg} x$ определена, когда $\sin x \ne 0$, то есть $x \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, какие из этих точек попадают в найденный отрезок $[-4, 0]$.
При $k=0$: $x = 0$. Эта точка является концом отрезка $[-4, 0]$ и должна быть исключена.
При $k=-1$: $x = -\pi$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $x \approx -3.14$. Это значение принадлежит отрезку $[-4, 0]$, и его нужно исключить.
При $k=-2$: $x = -2\pi \approx -6.28$, что не входит в отрезок $[-4, 0]$.

Следовательно, из отрезка $[-4, 0]$ необходимо исключить точки $x = -\pi$ и $x = 0$.
Итоговое решение: $x \in [-4, -\pi) \cup (-\pi, 0)$.
Ответ: $x \in [-4, -\pi) \cup (-\pi, 0)$.