Номер 58.5, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. §58. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 58.5, страница 227.

Условие.

58.5 а) $\frac{x}{y} = 1;$

б) $\frac{2x + 3y - 5}{x + y} = 0;$

В) $\frac{x - y}{x + y - 2} = 0;$

Г) $\frac{2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5}{x - y} = 2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а) Исходное уравнение: $ \frac{x}{y} = 1 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю, то есть $ y \neq 0 $.
Чтобы найти решение, умножим обе части уравнения на $ y $:
$ \frac{x}{y} \cdot y = 1 \cdot y $
$ x = y $
Таким образом, решение представляет собой все пары чисел $ (x, y) $, для которых $ x = y $, за исключением случая, когда $ y = 0 $ (что также означает $ x = 0 $). Графически это прямая $ y=x $ с выколотой точкой $ (0, 0) $.
Ответ: $ x = y $ при $ y \neq 0 $.

б) Исходное уравнение: $ \frac{2x + 3y - 5}{x + y} = 0 $.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это равносильно системе условий:
$ \begin{cases} 2x + 3y - 5 = 0 \\ x + y \neq 0 \end{cases} $
Из первого уравнения получаем уравнение прямой: $ 2x + 3y = 5 $.
Второе условие $ x + y \neq 0 $ означает, что $ x \neq -y $.
Найдем точку, которая не удовлетворяет ОДЗ, решив систему:
$ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x = -y \end{cases} $
Подставим второе уравнение в первое:
$ 2(-y) + 3y = 5 $
$ -2y + 3y = 5 $
$ y = 5 $
Тогда $ x = -5 $.
Следовательно, точка $ (-5, 5) $ должна быть исключена из решения.
Ответ: $ 2x + 3y - 5 = 0 $ при $ x + y \neq 0 $.

в) Исходное уравнение: $ \frac{x - y}{x + y - 2} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x - y = 0 \\ x + y - 2 \neq 0 \end{cases} $
Из первого уравнения следует, что $ x = y $.
Подставим это равенство во второе условие, чтобы найти исключаемые значения:
$ x + (x) - 2 \neq 0 $
$ 2x - 2 \neq 0 $
$ 2x \neq 2 $
$ x \neq 1 $
Поскольку $ x = y $, то и $ y \neq 1 $. Таким образом, точка $ (1, 1) $ не является решением.
Решением является прямая $ x=y $ с выколотой точкой $ (1, 1) $.
Ответ: $ x = y $ при $ x \neq 1 $.

г) Исходное уравнение: $ \frac{2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5}{x - y} = 2x $.
ОДЗ: $ x - y \neq 0 $, то есть $ x \neq y $.
При этом условии умножим обе части уравнения на знаменатель $ (x - y) $:
$ 2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5 = 2x(x - y) $
Раскроем скобки в правой части:
$ 2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5 = 2x^2 - 2xy $
Сократим одинаковые слагаемые $ 2x^2 $ и $ -2xy $ в обеих частях:
$ -4x + 3y - 5 = 0 $
$ 3y = 4x + 5 $
Теперь найдем точки на этой прямой, для которых нарушается ОДЗ, то есть $ x = y $. Подставим $ y = x $ в полученное уравнение:
$ 3x = 4x + 5 $
$ 3x - 4x = 5 $
$ -x = 5 \Rightarrow x = -5 $
Если $ x = -5 $, то и $ y = -5 $. Значит, точка $ (-5, -5) $ не входит в ОДЗ.
Решением является прямая $ 3y = 4x + 5 $ с выколотой точкой $ (-5, -5) $.
Ответ: $ 3y = 4x + 5 $ при $ x \neq -5 $.