Номер 58.8, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.8, страница 227.

58.8 a) $y = \sqrt{1 - x^2};$

б) $|y| = -\sqrt{1 - (x - 1)^2};$

В) $y + 2 = -\sqrt{1 - x^2};$

Г) $|y| = -\sqrt{1 - x^2} + 3.$

а) $y = \sqrt{1 - x^2}$

Рассмотрим уравнение $y = \sqrt{1 - x^2}$.
Область определения функции находится из условия подкоренного выражения: $1 - x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 1$, или $-1 \le x \le 1$.
Так как по определению арифметического квадратного корня его значение всегда неотрицательно, то $y \ge 0$.
Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$y^2 = (\sqrt{1 - x^2})^2$
$y^2 = 1 - x^2$
Перенеся $x^2$ в левую часть, получим каноническое уравнение окружности:
$x^2 + y^2 = 1$
Это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{1} = 1$.
Однако, исходное уравнение содержит условие $y \ge 0$, поэтому мы должны взять только ту часть окружности, которая лежит выше или на оси абсцисс.

Ответ: Графиком функции является верхняя полуокружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 1.

б) $|y| = -\sqrt{1 - (x - 1)^2}$

Рассмотрим уравнение $|y| = -\sqrt{1 - (x - 1)^2}$.
Левая часть уравнения, $|y|$, по определению модуля, всегда неотрицательна, то есть $|y| \ge 0$.
Правая часть уравнения, $-\sqrt{1 - (x - 1)^2}$, всегда неположительна (или равна нулю), так как значение квадратного корня $\sqrt{1 - (x - 1)^2}$ неотрицательно, а перед ним стоит знак «минус».
Равенство между неотрицательной и неположительной величиной возможно только в одном случае: когда обе части равны нулю.
$|y| = 0$ и $-\sqrt{1 - (x - 1)^2} = 0$.
Из первого уравнения следует, что $y = 0$.
Из второго уравнения следует, что $1 - (x - 1)^2 = 0$, или $(x - 1)^2 = 1$.
Извлекая корень, получаем два варианта:
1) $x - 1 = 1 \implies x = 2$
2) $x - 1 = -1 \implies x = 0$
Таким образом, уравнение имеет решение только при $y=0$ и при $x=0$ или $x=2$.

Ответ: График представляет собой две изолированные точки: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

в) $y + 2 = -\sqrt{1 - x^2}$

Рассмотрим уравнение $y + 2 = -\sqrt{1 - x^2}$.
Выразим $y$: $y = -\sqrt{1 - x^2} - 2$.
График этой функции можно получить из графика функции $y_1 = -\sqrt{1 - x^2}$ путем сдвига на 2 единицы вниз по оси $Oy$.
Рассмотрим функцию $y_1 = -\sqrt{1 - x^2}$. Возведем обе части в квадрат: $y_1^2 = 1 - x^2$, что дает $x^2 + y_1^2 = 1$. Это уравнение окружности с центром в $(0, 0)$ и радиусом 1. Так как в уравнении для $y_1$ перед корнем стоит минус, $y_1 \le 0$, что соответствует нижней полуокружности.
Следовательно, график исходной функции — это нижняя полуокружность, сдвинутая на 2 единицы вниз.
Можно также преобразовать исходное уравнение. Возведем в квадрат обе части $y + 2 = -\sqrt{1 - x^2}$ (учитывая, что $y+2 \le 0$, то есть $y \le -2$):
$(y + 2)^2 = 1 - x^2$
$x^2 + (y + 2)^2 = 1$
Это уравнение окружности с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом $r=1$. Условие $y \le -2$ означает, что мы берем только нижнюю половину этой окружности.

Ответ: Графиком является нижняя полуокружность с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом 1.

г) $|y| = -\sqrt{1 - x^2} + 3$

Рассмотрим уравнение $|y| = 3 - \sqrt{1 - x^2}$.
Область определения задается условием $1 - x^2 \ge 0$, то есть $-1 \le x \le 1$.
Так как $|y| \ge 0$, то и правая часть должна быть неотрицательной: $3 - \sqrt{1 - x^2} \ge 0$, или $\sqrt{1 - x^2} \le 3$. В области определения $x \in [-1, 1]$ максимальное значение $\sqrt{1-x^2}$ равно 1 (при $x=0$), поэтому это неравенство всегда выполняется.
Уравнение вида $|y| = f(x)$ равносильно совокупности двух уравнений: $y = f(x)$ и $y = -f(x)$.
1) $y = 3 - \sqrt{1 - x^2} \implies y - 3 = -\sqrt{1 - x^2}$. Возводим в квадрат (при условии $y-3 \le 0$): $(y - 3)^2 = 1 - x^2$, что дает $x^2 + (y - 3)^2 = 1$. Это нижняя полуокружность с центром в $(0, 3)$ и радиусом 1.
2) $y = -(3 - \sqrt{1 - x^2}) = \sqrt{1 - x^2} - 3 \implies y + 3 = \sqrt{1 - x^2}$. Возводим в квадрат (при условии $y+3 \ge 0$): $(y + 3)^2 = 1 - x^2$, что дает $x^2 + (y + 3)^2 = 1$. Это верхняя полуокружность с центром в $(0, -3)$ и радиусом 1.
Таким образом, график состоит из двух полуокружностей, симметричных относительно оси абсцисс.

Ответ: График состоит из двух частей: нижней полуокружности окружности $x^2 + (y - 3)^2 = 1$ (центр в $(0, 3)$, радиус 1) и верхней полуокружности окружности $x^2 + (y + 3)^2 = 1$ (центр в $(0, -3)$, радиус 1).