Номер 58.11, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.11, страница 227.

Решите уравнение в целых числах:

58.11 a) $x + 2y = 7;$

б) $5x + y = 17.$

а) $x + 2y = 7$

Дано линейное уравнение с двумя переменными. Требуется найти все его целочисленные решения. Такие уравнения также называют диофантовыми.

Для нахождения решений выразим одну переменную через другую. В данном случае удобнее выразить $x$ через $y$:

$x = 7 - 2y$

Это выражение показывает, что если $y$ — любое целое число, то $x$, вычисленный по этой формуле, также будет целым числом. Например, подставив несколько целых значений для $y$, найдем соответствующие значения $x$:

• Если $y = 0$, то $x = 7 - 2(0) = 7$. Решение: $(7, 0)$.
• Если $y = 1$, то $x = 7 - 2(1) = 5$. Решение: $(5, 1)$.
• Если $y = -1$, то $x = 7 - 2(-1) = 9$. Решение: $(9, -1)$.

Чтобы записать общее решение, которое описывает все бесконечное множество целочисленных пар $(x, y)$, введем параметр. Пусть $y = n$, где $n$ — произвольное целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Тогда $x$ будет равен $7 - 2n$.

Таким образом, общее решение уравнения в целых числах имеет вид:

Ответ: $(7 - 2n, n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $5x + y = 17$

Это также линейное диофантово уравнение. Для его решения в целых числах выразим $y$ через $x$:

$y = 17 - 5x$

Из этой формулы видно, что для любого целого числа $x$ соответствующее значение $y$ также будет целым. Найдем несколько частных решений:

• Если $x = 0$, то $y = 17 - 5(0) = 17$. Решение: $(0, 17)$.
• Если $x = 3$, то $y = 17 - 5(3) = 2$. Решение: $(3, 2)$.
• Если $x = 4$, то $y = 17 - 5(4) = -3$. Решение: $(4, -3)$.

Для описания всех решений введем целочисленный параметр $k$. Пусть $x = k$, где $k$ — произвольное целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Тогда $y$ будет равен $17 - 5k$.

Следовательно, общее решение уравнения в целых числах имеет вид:

Ответ: $(k, 17 - 5k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.